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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Fr 08.04.2005 | | Autor: | ripperrd |
Hallo, ich brauche wirklich dringend Hilfe bei folgender Aufgabe:
Bei einem Spiel werfen 3 Personen gleichzeitig je eine Münze. Zeigen alle 3 Münzen die gleiche Seite, so wird der Wurf wiederholt, ansonsten ist das Spiel beendet. Gewonnen hat derjenige Spieler, dessen Münze die Seite zeigt, die bei den anderen nicht zu sehen ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die erste Person mindestens 5 von 6 Spielen verliert?
Mein Ansatz bis jetzt:
1 Spiel besteht aus folgenden 3-er Tupeln:
(p1,p2,p3) p elem aus {w,z} w=wappen z=zahl
insgesamt gibt es 8 mögliche Spielausgänge.
Davon kann die 1. Person bei 2 Ausgängen gewinnen:
(p,z,z) oder (z,p,p)
bei 4 Ausgängen verlieren oder bei 2 Ausgängen wird wiederholt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Person ein Spiel verliert ist also 1/2. Das sie gewinnt 1/4.
ABER WIE RECHNET MAN JETZT WEITER???
Danke
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=15405
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Fr 08.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Ronny,
erstmal würde ich feststellen, dass es nur 6 verschiedenen mögliche Ausgänge für das Spiel gibt, da ja $(w,w,w)$ und $(z,z,z)$ zu einer Wiederholung führen - damit ergeben sich andere Wahrscheinlichkeiten für einen Sieg von Spieler 1. (Bisher war ja auch die Gesamtwahrscheinlichkeit für alle Ausgänge kleiner als 1, was ja nicht möglich sein sollte.)
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Spieler 1 mindestens 5-mal verliert errechnet sich ja aus der Wahrscheinlichkeit genau 6-mal zu verlieren und der Wahrscheinlichkeit genau 5-mal zu verlieren. Dazu empfhele ich dir noch mal den  Bernoulli-Versuch anzusehen, da die Zufallsverteilung hier binomialverteilt ist.
Gruß Brackhaus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Fr 08.04.2005 | | Autor: | ripperrd |
Sorry, aber ich komme trotzdem nicht weiter. Ich habe das Gefühl einen Knoten im Kopf zu haben.
HELP ME. Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Fr 08.04.2005 | | Autor: | Max |
Hast du denn mittlerweile die Gewinnwahrscheinlichkeit herausgefunden?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Fr 08.04.2005 | | Autor: | ripperrd |
Gewinnwahrscheinlichkeit für Spieler 1:
2/6 und
Verlierwahrscheinlichkeit
4/6
.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Fr 08.04.2005 | | Autor: | Max |
Gut, das ist soweit richtig - wobei ich noch kürzen würde, d.h. Wahrscheinlichkeit für einen Sieg von Spiler 1 ist [mm] $p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
[/mm]
Hast du dir jetzt mal die Seite zum Bernoulli-Versuch angesehen - eigentlich müsst ihr das mal in der Schule gemacht haben. Ich würde jetzt auch nicht viel anderes dazu aufschreiben. Evtl. kannst du dann dazu eine >konkrete< Frage stellen.
Brackhaus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Fr 08.04.2005 | | Autor: | ripperrd |
Also kurz zusammengefaßt:
Gewinnwahrscheinlichkeit p=1/3
Verlierwahrscheinlichkeit q=2/3
Anzahl der Wiederholungen 6
OK! Bernoullieversuch gelesen OK?
Ich weiß absolut nichts damit anzufangen, da ich in der Schule nie Wahrscheinlichkeitsrechnung hatte. Sorry. ICh will dich wirklich nicht ausnutzen aber ich brauche ein konkretes Bsp oder einen direkten Bezug zu der Aufgabe. Danke!
Konkreter kann ich die Frage mangels VErständnisses des Bernoulieversuchs leider nicht stellen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Fr 08.04.2005 | | Autor: | Max |
Okay, jetzt haben wir ja eine gemeinsame Basis für die Antwort 
Also ich hoffe du erinnerst dich noch an die Pfadregeln um Wahrscheinlichkeiten verknüpfen zu können.
Es gibt ja genau zwei Fälle die wir betrachten müssen:
1. Fall: Spieler 1 verliert genau 6-mal.
Die Wahrscheinlichkeit dafür ($P(X=0)$) kannst du jetzt mit $p$ errechnen. Denn Spieler 1 muss dafür 6-mal in Folge verloren haben. Dann errecnet sich $P(X=0)$ aus:
[mm] $P(X=0)=(1-p)^6$, [/mm] da ja nach Pfadregeln die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multipliziert werden müssen.
2. Fall: Spieler 1 verliert genau 5-mal.
Diese Wahrschenlichkeit ist etwas schwieriger zu errechen, denn man muss beachten, dass man nicht weiß, bei welchem Spiel Spieler 1 gewonnen hat. Wenn er im ersten Spiel gewinnt errechnet sich die Wahrscheinlichkeit dafür durch:
[mm] $p^1 \cdot (1-p)^5$
[/mm]
Jetzt muss man aber beachten, dass Spieler 1 statt im ersten Spiel auch in jeden anderem hätte gewinnen können, d.h. es gibt $6$ Varianten diesen einen Erfolg in einer Serie von $6$ Spielen zu erzielne, daher gilt:
[mm] $P(X=1)=6\cdot p^1 (1-p)^5$
[/mm]
Um die Frage zu beantorten muss man nur noch $P=P(X=0)+P(X=1)$ berechnen.
Jetzt noch mal allgemein: Angenommen man wollte wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkiet ist, dass Spieler 1 viermal gewinnt, also gesucht ist $P(X=4)$.
Jetzt muss man überlegen, wie viele Möglichkeiten es gibt $4$ Spiele aus $6$ zu gewinnen, diese Anzahl errechnet sich halt über den Binoialkoeffizienten ${6 [mm] \choose [/mm] 4}$. Da man auch weiß wie Wahrscheinlich die entsprechenden Ausgänge sind, kann man dann rechnen:
$P(X=4)={6 [mm] \choose [/mm] 4} [mm] p^4 (1-p)^2 [/mm] = {6 [mm] \choose [/mm] 4} [mm] \left(\frac{1}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 [/mm] = 15 [mm] \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{4}{9} [/mm] = [mm] \frac{20}{243}\approx [/mm] 0,0823045$
Also nur in 8% der Fälle würde Spieler 1 genau 4-mal gewinnen bei 6 Spielen.
Ich hoffe ide Erklärungen und das Beispiel helfen...
Brackhaus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Fr 08.04.2005 | | Autor: | ripperrd |
vielen dank.
endlich mal eine verständliche und einleuchtende antwort.
Supi...
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