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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:41 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Hugo20 |
| Aufgabe | Münzspiel: Hier habe ich eine unfaire Münze mit Wahrscheinlichkeit p, [mm] \bruch{1}{3} [/mm] < p < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] . Du brauchst 100 Euro Startkapital. Jedes Mal, wenn die Münze Kopf zeigt, verdopple ich dein Kapital, andernfalls musst du mir die Hälfte deines Kapitals zurückzahlen. [mm] X_{n} [/mm] bezeichne dein Kapital nach dem n-ten Münzwurf. Wie du leicht sehen kannst, gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] E( [mm] X_{n} [/mm] ) = [mm] \infty [/mm] .
Lässt du dich auf das Spiel ein? Überprüfe zunächst die Behauptung mit dem Erwartungswert und zeige [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} X_{n} [/mm] = 0 fast sicher. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Den Limes des Erwartungswertes zu zeigen war kein Problem. Zuerst habe ich definiert: [mm] Y_{i} [/mm] sei die Veränderung des Kapitals direkt nach dem i-ten Wurf (kann also entweder 2 oder [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sein.)
Dann lässt sich [mm] X_{n} [/mm] , also mein Kapital nach n Würfen doch auch schreiben als:
[mm] X_{n} [/mm] = 100 * [mm] Y_{1} [/mm] * [mm] Y_{2} [/mm] * ... * [mm] Y_{n}
[/mm]
Damit kann ich den Erwartungswert von [mm] X_{n} [/mm] schreiben als:
100 * E ( [mm] Y_{1} [/mm] ) * E ( [mm] Y_{2} [/mm] ) * ... * E ( [mm] Y_{n} [/mm] )
Der Erwartungswert eines einzelnen [mm] Y_{i} [/mm] ist ja 2p + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (1-p)
Also ist der gesamte Erwartungswert 100 * (2p + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (1-p) [mm] )^n
[/mm]
Das für n gegen Unendlich der Erwartungswert gegen Unendlich geht, sieht man leicht, wenn man p einsetzt.
Mehr Schwierigkeiten habe ich aber bei der anderen Frage, also dass für n gegen Unendlich die Zufallsvariable [mm] X_{n} [/mm] gegen Null geht fast sicher.
Fast sicher heisst ja, dass
P ( { ω [mm] \in [/mm] Ω : [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} X_{n} [/mm] (ω) = 0 }= 1.
Aber irgendwie komme ich hier nicht weiter. Ich habs mal versucht, indem ich sage, [mm] X_{n} [/mm] lässt sich auch schreiben als
[mm] X_{n} [/mm] = 100 * [mm] 2^i [/mm] * [mm] \bruch{1}{2}^{n-i} [/mm]
mit i = Anzahl der Köpfe bei n Würfen,
und dann n gegen Unendlich laufen lasse, aber das hilft ja wahrscheinlich nicht viel, da ja das i auch noch da ist.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:18 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Hugo20 |
Man muss hier wahrscheinlich das Gesetz der großen Zahlen anwenden, oder?
Ich habe mir überlegt: i, also die Anzahl der Köpfe bei n Würfen, geht gegen np für n gegen Unendlich.
Also setze ich in meine letzte Gleichung np für i ein.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} X_{n} [/mm] = 100 * 2^(np) * [mm] \bruch{1}{2}^{n-np} [/mm] = 100 * 2^(n(2p-1)) und weil 2p - 1 auf jeden Fall negativ ist, geht das Ganze gegen Null für n gegen Unendlich.
Das ist die einzige Idee, die ich habe, aber irgendwas stimmt da, glaub ich, nicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Di 08.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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