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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Do 10.02.2011 | | Autor: | zamuehl |
| Aufgabe | | Gib einen nicht-konstanten Morphismus f: Z4 -> S3 an und bestimme Kerf und Im f. |
Hallo,
ich weiß leider nicht, wie man an diese Aufgabe rangehen sollte.
Ich weiß:
[mm] \IZ_{4} [/mm] = Z / 4Z = {[0],[1],[2],[3]} und S3 die Symmetrische Gruppe mit n = 3, also alle Zykel der Länge 0-3 , |s3| = 3! = 6
Nach Lagrange gilt: Im f | 4 und Imf | 6.
Nun weiß ich aber nicht weiter...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Do 10.02.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo, willkommen im Matheraum!
> Gib einen nicht-konstanten Morphismus f: Z4 -> S3 an und
> bestimme Kerf und Im f.
> Hallo,
>
> ich weiß leider nicht, wie man an diese Aufgabe rangehen
> sollte.
> Ich weiß:
> [mm]\IZ_{4}[/mm] = Z / 4Z = {[0],[1],[2],[3]} und S3 die
> Symmetrische Gruppe mit n = 3, also alle Zykel der Länge
> 0-3 , |s3| = 3! = 6
>
> Nach Lagrange gilt: Im f | 4 und Imf | 6.
>
> Nun weiß ich aber nicht weiter...
Außerdem weißt du, dass # [mm] $ker\:f \:| [/mm] 4$, da der Kern eines Gruppenhomomorphismus Untergruppe und sogar Normalteiler ist.
Darüber hinaus muss das neutrale Element [mm] $\:[0] \in \IZ/4\IZ$ [/mm] auf das neutrale Element in [mm] $S_3$, [/mm] also die Identität, abgebildet werden.
[mm] $\IZ/4\IZ$ [/mm] ist ja eine zyklische Gruppe, die von der [mm] $[1]\:$ [/mm] erzeugt wird. Damit ist auch das Bild von [mm] $\IZ/4\IZ$ [/mm] in [mm] $S_3$ [/mm] zyklisch, die Abbildung ist bereits durch das Bild von [mm] $[1]\:$ [/mm] unter der Abbildung eindeutig festgelegt.
Du weißt, dass dein Bild Ordnung 2 haben muss, denn hätte es nur Ordnung 1, wäre die Abbildung ja konstant.
Da das Bild aber zyklische Untergruppe ist, muss der Erzeuger, also das Bild der [mm] $[1]\:$, [/mm] auch Ordnung 2 haben.
Was sind die Elemente der Ordnung 2 in [mm] $S_3$?
[/mm]
Hoffe das hilft dir weiter. Falls nicht, nachfragen.
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 So 13.02.2011 | | Autor: | zamuehl |
dank dir!
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