Morgansche Gesetz/Mengensystem < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Do 24.04.2014 | | Autor: | plpn |
| Aufgabe | Es sei X eine Menge und [mm] M\subset [/mm] P(X) ein Mengensystem auf X. Beweisen sie die de Morganschen Regeln:
a) [mm] (\bigcup_{m=M} M)^c [/mm] = [mm] \bigcap_{m=M}M^c
[/mm]
b) [mm] (\bigcap_{m=M} M)^c [/mm] = [mm] \bigcup_{m=M}M^c [/mm] |
Heyho,
zuerst einmal, das ist eine Aufgabe für meine Uni. Daher bitte ich um keine konkreten Lösungen, sondern lediglich um Denkanstöße bzw. um ein "Korrekt" oder "Falsch".
Bei mir hapert es immer, wenn ich mir die frage stelle: was soll bewiesen werden. So wie ich es verstanden habe, ist die de Morgansche Regel eine Äquivalenz von:
A [mm] \cup [/mm] B oder A [mm] \cap [/mm] B = ¬(¬(A [mm] \cup [/mm] B) und ¬(A [mm] \cap [/mm] B)).
Zu der Aufgabe: Mein bisheriger Ansatz läuft darauf hinaus zu beweisen, das M = P(X) [mm] \cap [/mm] m ist. Hier meine Lösung:
a)
[mm] \forall [/mm] m [mm] \in [/mm] M : m [mm] \subset [/mm] P(X)
[mm] \Rightarrow [/mm] m [mm] \cup [/mm] m = m [mm] \cap [/mm] m
[mm] \gdw [/mm] ¬(m [mm] \cup [/mm] m) = ¬(m [mm] \cap [/mm] m)
[mm] \Rightarrow [/mm] P(X) [mm] \cap [/mm] m = m [mm] \cup [/mm] m oder m [mm] \cap [/mm] m
[mm] \gdw [/mm] P(X) [mm] \cap [/mm] m = ¬(¬(m [mm] \cup [/mm] m) und ¬(m [mm] \cap [/mm] m))
Da ich mir Aufgabe b) nicht erklären kann (ist für mich das gleiche wie a) nur in grün... würde die operatoren austaschen), würde ich sagen, meine lösung ist falsch^10. Daher die Frage: Nach was wird gefragt?
Und noch das Anängsel für Newbies:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank im vorraus
// e: hab inzwischen herausgefunden, das mit [mm] (\bigcup_{m=M} M)^c [/mm] nichts potentiert wird, sonder ^c für das Komplement von M steht. Daher evtl. eine andere Frage: Wieso ist das eine geklammert, das andere aber nicht?
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Irgendwie macht die Schreibweise noch keinen Sinn. Ist vielleicht [mm] $(\bigcup_{m\in M} m)^c [/mm] $ gemeint? Da nimmst du alle $ m $, vereinigst sie und nimmst dann das Komplement. Bei [mm] $\bigcap_{m\in M} m^c [/mm] $ nimmst du jedes einzelne $ m $, bildest das Komplement und bildest danach den Durchschnitt. Dass diese Mengen gleich sind, ist leicht einzusehen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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