Monotonieverhalten einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Mo 27.04.2015 | | Autor: | Manu3911 |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die reelle Zahlenfolge [mm]x_n=1-2cos(\bruch{n-2}{n+3})[/mm], [mm] n\ge1, [/mm] auf Monotonie. |
Hallo,
ich komme bei obiger Aufgabe nicht ganz zum Ende. Ich hab einfach angesetzt das Kriterium für steigende Monotonie: [mm] $x_n\le x_{n+1}$
[/mm]
Dann hab ich eingesetzt und bin am Punkt: [mm] $cos(\bruch{n-2}{n+3})\ge cos(\bruch{n-1}{n+4})$
[/mm]
Wenn ich n=1 setze bekomme ich eine falsche Aussage, für [mm] n\ge [/mm] 2 bekomme ich eine wahre Aussage.
Jetzt meine beiden Fragen: Muss ich bei dieser Art von Aufgabe den genauen Wert angeben, ab wann die Folge ins unendliche steigt und wenn ja, wie bekomme ich den raus? Und wie beweise ich, dass die Folge dann auch wirklich ins unendliche steigt und nicht iwann wieder abfällt?
Danke schonmal für eure Hilfe!
Gruß Manu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Mo 27.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie die reelle Zahlenfolge
> [mm]x_n=1-2cos(\bruch{n-2}{n+3})[/mm], [mm]n\ge1,[/mm] auf Monotonie.
> Hallo,
>
> ich komme bei obiger Aufgabe nicht ganz zum Ende. Ich hab
> einfach angesetzt das Kriterium für steigende Monotonie:
> [mm]x_n\le x_{n+1}[/mm]
> Dann hab ich eingesetzt und bin am Punkt:
> [mm]cos(\bruch{n-2}{n+3})\ge cos(\bruch{n-1}{n+4})[/mm]
> Wenn ich
> n=1 setze bekomme ich eine falsche Aussage, für [mm]n\ge[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2
> bekomme ich eine wahre Aussage.
> Jetzt meine beiden Fragen: Muss ich bei dieser Art von
> Aufgabe den genauen Wert angeben, ab wann die Folge ins
> unendliche steigt und wenn ja, wie bekomme ich den raus?
die Folge steigt doch nicht in's Unendliche. Aber das, was Du beobachtet
hast, kannst Du doch sagen:
Die Folge kann wegen $x_1 > x_2$ nicht monoton steigend sein. Wegen $x_{2} < x_3$ kann
sie aber auch nicht monoton fallend sein.
> Und wie beweise ich, dass die Folge dann auch wirklich ins
> unendliche steigt und nicht iwann wieder abfällt?
Das ist Quatsch. Die Folge strebt gegen $1-2\cos(1)\,$ bei $n \to \infty\,.$
Eigentlich haben wir alles, was die Aufgabenstellung verlangt, nun besprochen.
Dennoch hattest Du ja weitere Fragen. Vielleicht gebe ich Dir dahingehend
einfach mal Tipps:
1.) Untersuche erstmal die Folge
$(\;(n-2)/(n+3)\;)_{n \in \IN}$
auf Monotonie. Wenn man dahingehend gar keine Idee hat:
Manchmal hilft es, sich erstmal *eine allgemeinere Funktion* anzuschauen,
etwa
$f \colon \IR \setminus \{-3\} \to \IR$
mit $f(x):=(x-2)/(x+3)\,.$
1. Schritt: Lass' Dir mal den Graphen plotten.
2. Schritt: Schau' in Dir nur für $x \ge 1$ an (Grund: siehe 3. Schritt).
3. Schritt: $\left. f \right|_{\IN}$ zeigt Dir "die Folge $(\;(n-2)/(n+3)\;)_{n \in \IN}$".
Du wirst also die Vermutung haben, dass die Folge $(\;(n-2)/(n+3)\;)_{n \in \IN}$ (streng) wächst.
In der Schule hat man gelernt, wie man etwa mithilfe von $f\,'$ sowas zeigen
kann (genauer gesagt: Wir würden etwa $g\,$ als Einschränkung von $f\,$ auf $(0,5;\;\infty)$
definieren und dann mit $g\,'$ argumentieren).
Falls Dir das zu aufwendig ist, kannst Du natürlich auch direkt nachrechnen,
dass $(\;(n-2)/(n+3)\;)_{n \in \IN}$ (streng) wachsend ist.
Nun noch ein weiterer Punkt:
Mit $a_n:=(n-2)/(n+3)$ bewegt sich die Folge $(a_n)_{n \in \IN}$ im Bereich
$a_n \in [-1/4;\;1)\,.$
Schau' Dir mal an, wie die Kosinuskurve in diesem Bereich verläuft. Trägst
Du nun in der folgenden Reihenfolge
für n=1 den Punkt $(a_1,\cos(a_1))$
für n=2 den Punkt $(a_2,\cos(a_2))$
für n=3 den Punkt $(a_3,\cos(a_3))$
etc. ab, so solltest Du *sehen*, welches Verhalten die Folge $(y_n)$ mit
$y_n:=\cos(a_n)=\cos((n-2)/(n+3))$
aufweist. Damit kannst Du dann relativ schnell auf das Deiner Folge $(x_n)$
zurückschließen.
P.S. Und ja: Du könntest auch ergänzen: Ab $n=2\,$ ist $(x_n)$ (streng) wachsend.
Dass dieses $n\,$ minimal ist, folgt aus den Vorüberlegungen. Aber das
zuletztgesagte sehe ich nicht explizit in der Aufgabe gefragt, das ist also
eine *eigene Zusatzangabe*.
P.P.S. Du könntest Dir hier auch spaßeshalber mal die Funktion
$x \longmapsto 1-2*\cos((x-2)/(x+3))$ ($x > 0\,$)
anschauen...
Und nebenbei: Ich habe $x_n \to 1-2*\cos(1)$ geschlossen, weil $a_n \to 1$ und $\cos$
stetig (in der Stelle $1\,$) ist.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Mo 27.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie die reelle Zahlenfolge
> [mm]x_n=1-2cos(\bruch{n-2}{n+3})[/mm], [mm]n\ge1,[/mm] auf Monotonie.
> Hallo,
>
> ich komme bei obiger Aufgabe nicht ganz zum Ende. Ich hab
> einfach angesetzt das Kriterium für steigende Monotonie:
> [mm]x_n\le x_{n+1}[/mm]
> Dann hab ich eingesetzt und bin am Punkt:
> [mm]cos(\bruch{n-2}{n+3})\ge cos(\bruch{n-1}{n+4})[/mm]
> Wenn ich
> n=1 setze bekomme ich eine falsche Aussage, für [mm]n\ge[/mm] 2
> bekomme ich eine wahre Aussage.
> Jetzt meine beiden Fragen: Muss ich bei dieser Art von
> Aufgabe den genauen Wert angeben, ab wann die Folge ins
> unendliche steigt und wenn ja, wie bekomme ich den raus?
> Und wie beweise ich, dass die Folge dann auch wirklich ins
> unendliche steigt und nicht iwann wieder abfällt?
vielleicht nochmal, damit es deutlich wird: Bei der Aufgabe musst Du einfach
wenigstens etwas über die Kosinuskurve, wenigstens im Bereich $[-1/4,1)$, wissen;
und für den *Zusatz*, dass diese Folge ab $n [mm] =2\,$ [/mm] (streng) wächst, solltest Du
etwas über [mm] $\cos$ [/mm] eingeschränkt auf $[0,1)$ sagen können.
"Wissen müssen" ist vielleicht etwas zu stark formuliert - ich sage es vllt.
mal besser so: Solch' ein Wissen ist hier ungemein hilfreich zur Lösung
dieser Aufgabe.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:41 Fr 01.05.2015 | | Autor: | Manu3911 |
Vielen Dank euch beiden!
Wenn ich die Aufgabe so nacheinander untersuche, also erst [mm] a_n, [/mm] dann [mm] y_n [/mm] und dann [mm] x_n [/mm] dann ist es ja wirklich nicht schwer.
Also [mm] a_n [/mm] läuft bei ${n [mm] \to \infty}$ [/mm] gegen 1, [mm] y_n [/mm] läuft dann gegen cos(1) und [mm] x_n [/mm] läuft dann gegen 1-2cos(1).
Danke, ihr habt mir da echt auf die Sprünge geholfen!!
Gruß Manu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:05 Fr 01.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank euch beiden!
>
> Wenn ich die Aufgabe so nacheinander untersuche, also erst
> [mm]a_n,[/mm]
> dann [mm]y_n[/mm] und dann [mm]x_n[/mm] dann ist es ja wirklich nicht
> schwer.
> Also [mm]a_n[/mm] läuft bei [mm]{n \to \infty}[/mm] gegen 1,
> [mm]y_n[/mm] läuft
> dann gegen cos(1) und
Das liegt an der Stetigkeit von cos. Darfst Du das verwenden ?
FRED
> [mm]x_n[/mm] läuft dann gegen 1-2cos(1).
>
> Danke, ihr habt mir da echt auf die Sprünge geholfen!!
>
> Gruß Manu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:19 Sa 02.05.2015 | | Autor: | Manu3911 |
Hallo,
also es hat keiner untersagt, mit Stetigkeit zu argumentieren (;
Könntest du mir bitte etwas genauer erklären, was genau an der Stetigkeit des cos liegt?
Außerdem hab ich noch eine Frage: Ich habe meine Aufgabe abgegeben und exakt so argumentiert bzw. den Grenzwert berechnet, wie ich das oben dargestellt hab und hab dann als Schlussfolgerung für das Monotonieverhalten geschrieben, dass die Folge monoton steigt. Jedoch wurde mir unter meine korrigierte Aufgabe geschrieben, dass meine Herleitung nicht zu dem Ergebnis führt, dass die Folge monoton steigend ist...
Wie seht ihr das? Fehlt da noch was in meiner Argumentation, bis ich zu diesem Schluss kommen darf?
Vielen Dank!
Gruß Manu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 Sa 02.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> also es hat keiner untersagt, mit Stetigkeit zu
> argumentieren (;
> Könntest du mir bitte etwas genauer erklären, was genau
> an der Stetigkeit des cos liegt?
dass [mm] $\cos \colon \IR \to \IR$ [/mm] stetig ist, bedeutet: Für alle [mm] $r_0 \in \IR$ [/mm] gilt: Für alle
reellwertigen Folgen [mm] $(r_n)$ [/mm] mit [mm] $r_n \to r_0$ [/mm] folgt [mm] $\cos(r_n) \to \cos(r_0)\,.$ [/mm] In Deinem
Fall brauchst Du das nur für speziell [mm] $r_0=1\,,$ [/mm] und wenn etwas für alle Folgen
gilt, dann auch für eine spezielle.
> Außerdem hab ich noch eine Frage: Ich habe meine Aufgabe
> abgegeben und exakt so argumentiert bzw. den Grenzwert
> berechnet, wie ich das oben dargestellt hab und hab dann
> als Schlussfolgerung für das Monotonieverhalten
> geschrieben, dass die Folge monoton steigt. Jedoch wurde
> mir unter meine korrigierte Aufgabe geschrieben, dass meine
> Herleitung nicht zu dem Ergebnis führt, dass die Folge
> monoton steigend ist...
> Wie seht ihr das? Fehlt da noch was in meiner
> Argumentation, bis ich zu diesem Schluss kommen darf?
Das musst Du genauer erklären. Wir hatten doch bemerkt:
> Die Folge kann wegen $ [mm] x_1 [/mm] > [mm] x_2 [/mm] $ nicht monoton steigend sein.
> Wegen $ [mm] x_{2} [/mm] < [mm] x_3 [/mm] $ kann sie aber auch nicht monoton fallend sein.
Siehe hier: https://matheraum.de/read?i=1057020.
Dass die Folge [mm] ${(x_n)}_{n \ge \red{\,2\,}}$ [/mm] streng (gegen [mm] $1-2\cos(1^)$) [/mm] wächst,
war doch nur eine Zusatzerkenntnis. Die Folge [mm] ${(x_n)}_{n \ge \red{\,2\,}}$ [/mm] entsteht aus
[mm] $(x_n)_{n \in \IN}\,,$ [/mm] indem man aus ihr das erste Folgeglied entfernt und alle
weiteren um 1 Position nach links verschiebt.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Sa 02.05.2015 | | Autor: | Manu3911 |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Stetigkeitserklärung. Bei mir brauch ich deswegen nur den speziellen Fall cos(1) betrachten, da ja der Grenzwert von [mm] a_n [/mm] 1 war, oder?
Also dass die Folge nicht monoton steigend sein kann, da [mm] x_1 [/mm] > [mm] x_2 [/mm] und auch nicht nur monoton fallend sein kann wegen [mm] x_2 [/mm] < [mm] x_3 [/mm] hatte ich ja mit notiert, aber was genau muss ich daran jetzt noch genauer erklären? Hätte ich erklären sollen, dass die Folge erst kurz fällt und erst dann steigt?
Danke!
Gruß Manu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Sa 02.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> vielen Dank für die schnelle Stetigkeitserklärung. Bei
> mir brauch ich deswegen nur den speziellen Fall cos(1)
> betrachten, da ja der Grenzwert von [mm]a_n[/mm] 1 war, oder?
>
> Also dass die Folge nicht monoton steigend sein kann, da
> [mm]x_1[/mm] > [mm]x_2[/mm] und auch nicht nur monoton fallend sein kann
> wegen [mm]x_2[/mm] < [mm]x_3[/mm] hatte ich ja mit notiert, aber was genau
> muss ich daran jetzt noch genauer erklären? Hätte ich
> erklären sollen, dass die Folge erst kurz fällt und erst
> dann steigt?
am Besten fragst Du den Korrekteur oder tippst genau das ab, was Du
geschrieben hast. Jedenfalls:
Wenn Du geschrieben hast, dass wegen [mm] $x_1 [/mm] > [mm] x_2$ [/mm] (Du hast vielleicht [mm] $x_1 [/mm] > [mm] x_2$
[/mm]
nicht genau genug begündet?) die Folge nicht (wozu das *nur*?) monoton
fallend sein kann, begründet das auch mit, dass die Folge nicht streng
monoton fallend sein kann. Wegen [mm] $x_2 [/mm] < [mm] x_3$ [/mm] ist die Folge aber nicht
monoton steigend (und damit auch nicht streng monoton steigend).
Die Folge ist also
weder nochmonoton fallend noch streng monoton fallend
noch monoton wachsend noch streng monoton wachsend.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:14 Sa 02.05.2015 | | Autor: | Manu3911 |
Alles klar, ich werd einfach nochmal nachfragen. Vielleicht hätte ich noch näher herausarbeiten sollen, so wie du geschrieben hast, dass die Folge weder monoton fallend noch monoton steigend ist.
Vielen Dank für deine umfangreiche Hilfe!
Gruß Manu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 Sa 02.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Alles klar, ich werd einfach nochmal nachfragen. Vielleicht
> hätte ich noch näher herausarbeiten sollen, so wie du
> geschrieben hast, dass die Folge weder monoton fallend noch
> monoton steigend ist.
>
> Vielen Dank für deine umfangreiche Hilfe!
gerne. Vielleicht sagst Du dem Korrekteur das auch direkt nochmal, falls
er Dir deswegen Punkte abgezogen hat, weil das fehlte. Vielleicht ist er
ja nett und gibt Dir wenigstens einen Teil davon dann doch noch, weil er
sieht, dass Du das eigentlich verstanden hast.
Aber denke dran: Du musst bei Übungsaufgaben - je nach Korrekteur -
auch sehr detailliert alles hinschreiben, was Du Dir gedacht hast. *Gedankensprünge*
müssen (schnell) nachvollziehbar sein - wenn Du jemanden Deine Lösung
gibst, und der muss erstmal selber raussuchen, welchen Satz/ welche
Formel Du oder wie Du etwas gerechnet hast, dann ist das schon ein
Manko.
Später darfst Du dahingehend das Ganze zwar etwas lockerer sehen, weil
Du auch einfach ein Gefühl für *Standardargumente* hast, aber am Anfang
gehe einfach davon aus, dass Du jemanden da hast, dem Du gerade erst
den wissenswerten Stoff beigebracht hast, und dem Du Deine Übungsaufgaben
so erklären musst, wie Du es von der Vorlesung her gewohnt bist. Bzw.
bei den Lösungen der Übungsaufgaben sollte das ja auch genauso
gemacht werden.
Auf eine Nachfrage: "Wie kommen Sie denn darauf?" musst Du Deinen
*Weg*, den Du gegangen bist, erklären können müssen.
Gruß,
Marcel
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