Monotonieverhalten 2x^2-4x-1 < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 So 20.03.2005 | | Autor: | kimnhi |
Hi!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die folgende Aufgabe lautet:
Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion
f:x -> [mm] 2x^2-4x-1
[/mm]
a=2 bedeutet ja, dass die Öffnung der gedehnten Parabel nach oben und der Scheitelpunkt ein Minimum ist.
Dementsprechend habe ich die quadratische Gleichung mit [mm] a.(x-u)^2+v [/mm] gleichgesetzt.
[mm] 2x^2-4x-1=ax^2-2aux+au^2+v
[/mm]
-4= -2au liefert mit a=2 den Wert
[mm] -1=au^2+v [/mm] liefert mit a =2 und 0=1 den Wert v=-3
Bis dahin habe ich auch alles richtig.
Zur Monotonieuntersuchung wähle ich nun 2 Stellen mit x1 < x2
Ich habe nun für x < 1 die Zahlen -2 und -1 eingesetzt,
Daraus ergibt sich ,dass f(x1) < f(x2) ist, d.h streng monoton fallend.
Bei x >1 habe ich 2 und 3 eingesetzt,daraus ergibt sich, dass f(x1) > f(x2) ist,d.h streng monoton wachsend.
Das richtige Ergebnis lautet jedoch, dass links vom Scheitelpunkt (1/-3) für x < 1 die Funktion streng monoton wachsend und rechts vom Scheitelpunkt für x >1 streng monoton fallend sein muss.
Also genau anders herum.
Ich möchte nun wissen, was ich falsch gemacht habe und wie man auf diese Lösung kommt.
Vielen Dank!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Andi |
Hallo kimnhi,
zunächst einmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Dementsprechend habe ich die quadratische Gleichung mit
> [mm]a.(x-u)^2+v[/mm] gleichgesetzt.
>
> [mm]2x^2-4x-1=ax^2-2aux+au^2+v
[/mm]
>
> -4= -2au liefert mit a=2 den Wert
> [mm]-1=au^2+v[/mm] liefert mit a =2 und 0=1 den Wert v=-3
>
> Bis dahin habe ich auch alles richtig.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Dieses Verfahren ist mir zwar neu, ist aber richtig.
Vielleicht darf ich es noch schnell mit quadratischer Ergänzung machen.
[mm]f(x)=2*x^2-4x-1[/mm] durch 2 teilen
[mm]\bruch{f(x)}{2}=x^2-2x-\bruch{1}{2}[/mm] auf der rechten seite eine Null (+1-1)addieren
[mm]\bruch{f(x)}{2}=x^2-2x+1-1-\bruch{1}{2}[/mm]
[mm]\bruch{f(x)}{2}=(x-1)^2-1,5[/mm]
[mm]f(x)=2(x-1)^2-3[/mm]
Also erhalte ich auf eine umständlichere Art das gleiche Ergebnis.
> Zur Monotonieuntersuchung wähle ich nun 2 Stellen mit x1 <
> x2
> Ich habe nun für x < 1 die Zahlen -2 und -1 eingesetzt,
> Daraus ergibt sich ,dass f(x1) < f(x2) ist, d.h streng
> monoton fallend.
> Bei x >1 habe ich 2 und 3 eingesetzt,daraus ergibt sich,
> dass f(x1) > f(x2) ist,d.h streng monoton wachsend.
Deine Rechnung ist richtig. Aber eigentlich auch unnötig, denn du weißt ja,
dass die Parabel nach oben geöffnet ist. Also ist sie zum Scheitel streng monoton fallen und vom Scheitel nach rechts weiter streng monoton steigend.
> Das richtige Ergebnis lautet jedoch, dass links vom
> Scheitelpunkt (1/-3) für x < 1 die Funktion streng monoton
> wachsend und rechts vom Scheitelpunkt für x >1 streng
> monoton fallend sein muss.
Das kann nicht sein. Also eine nach oben geöffnete Parabel kann doch nicht links vom Scheitel streng monoton wachsen und rechts vom Scheitel streng monoton fallen.
> Ich möchte nun wissen, was ich falsch gemacht habe und wie
> man auf diese Lösung kommt.
Nach meiner Meinung hast du nichts falsch gemacht.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
|
|
|
|
