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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Es ist die Monotonie der Folge zu untersuchen:
[mm] a_{n}=\bruch{b^{n}}{n} [/mm] ; b>1 |
Hallo, ich bin so vorgegangen:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{\bruch{b^{n+1}}{n+1}}{\bruch{b^{n}}{n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{b^{n+1}*n}{b^{n}*(n+1)}=\bruch{b*b^{n}*n}{b^{n}*(n+1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{b*n}{(n+1)}
[/mm]
Nun, ich bin mir jetzt nicht sicher, welche Umformungsschritte hier noch Sinn machen würden. Ich könnte vielleicht noch das n ausklammern, dann habe ich am Ende:
[mm] \bruch{b}{(1+\bruch{1}{n})}. [/mm] Aber bezüglich der Monotonie sagt das nicht sehr viel aus glaube ich.
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> Es ist die Monotonie der Folge zu untersuchen:
> [mm]a_{n}=\bruch{b^{n}}{n}[/mm] ; b>1
> Hallo, ich bin so vorgegangen:
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{\bruch{b^{n+1}}{n+1}}{\bruch{b^{n}}{n}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{b^{n+1}*n}{b^{n}*(n+1)}=\bruch{b*b^{n}*n}{b^{n}*(n+1)}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{b*n}{(n+1)}[/mm]
Das sieht doch schon recht hübsch aus.
> Nun, ich bin mir jetzt nicht sicher, welche
> Umformungsschritte hier noch Sinn machen würden.
> Ich könnte
> vielleicht noch das n ausklammern, dann habe ich am Ende:
> [mm]\bruch{b}{(1+\bruch{1}{n})}.[/mm] Aber bezüglich der Monotonie
> sagt das nicht sehr viel aus glaube ich.
Das Verhältnis [mm] $\frac{bn}{n+1}$ [/mm] wird doch, aufgrund Deines bisherigen Ergebnisses, erst für $n$ ab einem gewissen [mm] $n_0$ [/mm] grösser als $1$ sein (dann aber auch grösser als $1$ bleiben). Das heisst aus der Ungleichung
[mm]\frac{nb}{n+1}>1[/mm]
folgt, wegen $b>1$, dass [mm] $n>\frac{1}{b-1}$ [/mm] sein muss (löse die Ungleichung einfach nach $n$ auf). Für solche $n$ ist die Folge also streng monoton wachsend.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort, ist jetzt verständlicher.
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