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| Aufgabe | Folge: [mm] (b_{n})_{n}_{\in\IN_{0}}
[/mm]
[mm] b_{n} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{1!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2!} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{n!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}
[/mm]
Wegen [mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] b_{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)!} [/mm] wächst [mm] b_{n} [/mm] streng monoton. Mit Hilfe von k! = 1 * 2 * ... * k [mm] \ge [/mm] 1 * 2* ... *2 = [mm] 2^{k-1} [/mm] erhält man folgende Abschätzung:
[mm] b_{n}= [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{1!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2!} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{n!} \le [/mm] 1 + 1+ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{2^{n-1}} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1 - 0,5^{n}}{1 - 0,5} [/mm] [mm] \le [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{0,5} [/mm] = 3 |
Hallo, dies ist meine erste Frage und ich hoffe ich habe alle Vorschriften erfüllt und mich korrekt an die Regeln gehalten.
Zu meiner Frage:
Wie kommt der Autor der Aufgabe auf:
1 + [mm] \bruch{1 - 0,5^{n}}{1 - 0,5} \le [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{0,5}
[/mm]
Ich kann diesen Umformungsschritt nicht nachvollziehen. Erleuchtung durch jemanden, der mehr weiß als ich, wäre wunderbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Di 16.08.2011 | | Autor: | Dath |
Denn:
[mm]\bruch{1-a^{n}}{1-a}<\bruch{1}{1-a}[/mm]
Für [mm]a = \bruch{1}{2} [/mm] folgt dann die o.g. Ungleichung.
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Vielen Dank für die schnelle und gut nachvollziehbare Antwort. Ich habe meine Frage mißverständlich gestellt. Mir ist die Umformung von [mm] \bruch{1}{2^{n-1}} [/mm] nach [mm] \bruch{1-0,5^n}{1-0,5} [/mm] nicht klar. [mm] 2^{-1} [/mm] ist ja 0,5. Ferner verstehe ich nicht wie der Autor Die n-te Potenz im Nenner umformt so dass die Potenz im Zähler auftaucht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Di 16.08.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
die Umformung, über die Du eben stolperst, hängt mit der Summendarstellung aller Glieder der Reihe ab der zweiten 1 zusammen. Vergleiche diese Glieder mal mit den Gliedern einer geometrischen Reihe. Der Faktor ist kleiner 1 und die Reihe konvergiert gerade gegen den Wert, der als Bruch hier angegeben ist.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Mi 17.08.2011 | | Autor: | fred97 |
[mm] $1+q+q^2+...+q^{n-1}= \bruch{1-q^n}{1-q}$
[/mm]
für n [mm] \in \IN [/mm] und q [mm] \in \IR [/mm] mit q [mm] \ne [/mm] 1
FRED
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