Monotoniekriterium < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 Di 11.05.2010 | | Autor: | fabian.j |
| Aufgabe | | Zeigen Sie mit dem Monotoniekrierium, dass die Folge [mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{3n-1} [/mm] konvergiert. |
Also ich steh gerade irgendwie voll auf dem Schlauf, ist vielleicht die Müdigkeit (vielleicht sollte man nicht immer die Hausaufgaben auf den letzten drücker machen).
Die Abschätzung ist kein Problem:
[mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{3n-1} [/mm] > [mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{3n+1} [/mm] > [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Aber dann die Induktion krieg ich irgendwie nicht hin:
[mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{3n-1} [/mm] > [mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n+1+1}{3n+3-1} [/mm] = [mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n+2}{3n-2} [/mm] = ...
Und dann komm ich nicht weiter.
Über sehe ich irgendwas total triviales? Geht die Aufgabe ganz anders? Normalerweise bin ich ein Fan von Induktion.
Und natürlich habe ich diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 Di 11.05.2010 | | Autor: | javeda |
>
> Aber dann die Induktion krieg ich irgendwie nicht hin:
>
> [mm]x_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n+1}{3n-1}[/mm] > [mm]x_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n+1+1}{3n+3-1}[/mm] =
> [mm]x_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n+2}{3n-2}[/mm] = ...
Dein Nenner ist falsch:
3(n+1)-1= 3n+3-1= 3n+2
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 Di 11.05.2010 | | Autor: | fabian.j |
> Dein Nenner ist falsch:
> 3(n+1)-1= 3n+3-1= 3n+2
Jepp, Tippfehler.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:40 Di 11.05.2010 | | Autor: | javeda |
Wie lautet denn das Monotoniekriterium für Folgen?
Was musst Du das alles zeigen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:52 Di 11.05.2010 | | Autor: | fabian.j |
Ist eine Folge nach oben beschränkt und monoton steigend, dann konvergiert sie auch.
Ich hatte hier den analogen Fall für fallend und nach unten beschränkt.
Habs aber jetzt gelöst - Danke trotzdem.
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Hallo,
> Zeigen Sie mit dem Monotoniekrierium, dass die Folge [mm]x_{n}[/mm]
> = [mm]\bruch{n+1}{3n-1}[/mm] konvergiert.
> Also ich steh gerade irgendwie voll auf dem Schlauf, ist
> vielleicht die Müdigkeit (vielleicht sollte man nicht
> immer die Hausaufgaben auf den letzten drücker machen).
>
> Die Abschätzung ist kein Problem:
>
> [mm]x_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n+1}{3n-1}[/mm] > [mm]x_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n+1}{3n+1}[/mm] >
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Aber dann die Induktion krieg ich irgendwie nicht hin:
Was für eine Induktion denn überhaupt?
Ich nehme an, du willst nun zeigen, dass [mm] (x_{n}) [/mm] monoton fallen ist.
Dafür reicht es zu zeigen, dass
[mm] $\frac{(n+1)+1}{3*(n+1)-1} [/mm] = [mm] x_{n+1} [/mm] < [mm] x_{n} [/mm] = [mm] \frac{n+1}{3n-1}$
[/mm]
Du kannst äquivalent umformen zu:
$(n+2)*(3n-1) < (n+1)*(3n+2)$
[mm] $3n^{2} [/mm] - n + 6n - 2 < [mm] 3n^{2} [/mm] + 2n + 3n + 2$
$5n - 2 < 5n + 2$,
was offensichtlich wahr ist. (Für den formalen Beweis natürlich von unten anfangen !!!)
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:39 Di 11.05.2010 | | Autor: | fabian.j |
Bist super Stefan, diesmal mit "f" ;) . Danke.
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