Monotoniebestimmung bei Folgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Mo 06.03.2006 | | Autor: | Waltraud |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Folge mit dem allgemeinen Glied an = 7n+8/9n+10 auf Monotonie. |
Hallo Leute, ich hoffe ihr könnt mir hier ein wenig auf die Sprünge helfen. Ich stehe hier total auf dem Schlauch. ich weiß zwar was Monotonie ist und das es steigende und abfallende Monotonie gibt, aber ich komm einfach hier nicht weiter. Vielen Dank für eure Hilfe. Lieben Gruß Waltraud
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Mo 06.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Waltraud,
du hast es zwar nicht geschrieben, aber ich bin sicher, dass du neben der anschaulichen Erklärung ("streng monoton steigend --> es wird immer mehr") auch die "harte", mathematische Definition kennst:
Eine Folge [mm] $(a_{n})$ [/mm] heißt streng monoton steigend, wenn für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt: [mm] $a_{n+1}>a_{n}$.
[/mm]
Dementsprechend heißt eine Folge [mm] $(a_{n})$ [/mm] streng monoton fallend, wenn für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt: [mm] $a_{n+1}
(Nur am Rande bemerkt: Eine Folge [mm] $(a_{n})$ [/mm] heißt monoton steigend, wenn für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt: [mm] $a_{n+1}\ge a_{n}$. [/mm] Dementsprechend heißt eine Folge [mm] $(a_{n})$ [/mm] monoton fallend, wenn für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt: [mm] $a_{n+1}\le a_{n}$.)
[/mm]
Wir könnten doch in deinem Fall mal versuchen zu zeigen, dass die Folge [mm] $a_{n}=\bruch{7n+8}{9n+10}$ [/mm] streng monoton fallend ist. Wie beweist man das? Indem wir uns anschauen, ob tatsächlich [mm] $a_{n+1}
Jetzt muss man leider ziemlich viel herumrechnen und vereinfachen, bis man schließlich auf eine wahre Aussage kommt. Ich mache dir noch ein paar Schritte vor, den Rest schaffst du sicher allein:
[mm] $a_{n+1}
[mm] $\gdw \bruch{7(n+1)+8}{9(n+1)+10}<\bruch{7n+8}{9n+10}$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{7n+15}{9n+19}<\bruch{7n+8}{9n+10}$
[/mm]
[mm] $\gdw (7n+15)\cdot (9n+10)<(7n+8)\cdot [/mm] (9n+19)$
[mm] $\gdw 63n^{2}+70n+135n+150< \ldots$
[/mm]
usw. Am Ende müsstest du auf eine wahre Aussage kommen.
Behalte dabei im Kopf, dass $n$ immer positiv ist!
Ich hoffe, das war halbwegs nachvollziehbar, ansonsten bitte nochmal nachfragen, ok? 
MFG,
Yuma
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