Monotonie zeigen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) für welche werte x element der Reellen Zahlen ist f definiert?
b) Zeigen sie das f streng monoton fällt für x kleiner als -1
[mm] f(x)=\wurzel[x]{2}* [/mm] ln(-x) |
ich habe als erstes die wurzel umgeformt damit
f(x)= [mm] 2*\bruch{1}{x}*ln(-x)
[/mm]
a) also der erste Teil ist für alle zahlen definiert, da aber ln(-x) nur bis zur 0 definert ist gilt als Definitionsmenge: D f(x) -unentlich und Null
b) wie zeige ich die Monotoie?????
angefangen habe ich so
[mm] x_{1}kleiner [/mm] als [mm] x_{2}kleiner [/mm] als -1
das ist aber noch kein Beweis, wie geht man weiter vor??
LG Alex
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Hallo Alex!
> [mm]f(x)=\wurzel[x]{2}*[/mm] ln(-x)
> ich habe als erstes die wurzel umgeformt damit
>
> f(x)= [mm]2*\bruch{1}{x}*ln(-x)[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das muss lauten:
[mm]f(x) \ = \ 2^{\bruch{1}{x}}*\ln(-x)[/mm]
> a) also der erste Teil ist für alle zahlen definiert, da
> aber ln(-x) nur bis zur 0 definert ist gilt als
> Definitionsmenge: D f(x) -unentlich und Null
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Fast richtig. Gehört die Null nun auch zum Definitionsbereich dazu oder nicht?
> b) wie zeige ich die Monotoie?????
Über die 1. Ableitung.
Gruß vom
Roadrunner
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Ich habe mir jetzt die verschiedenen Ableitungen angesehen bin mir aber noch unsicher ob das so richtig ist und ob das so reicht.
$ f(x) \ = \ [mm] 2^{\bruch{1}{x}}\cdot{}\ln(-x) [/mm] $
Ich sollte nun beweisen das die Funktion streng monoton fällt
$ f'(x) \ = \ [mm] 2x^{\bruch{-1}{2}} [/mm] * [mm] \bruch [/mm] {-1}{x} $
Was schreibt man jetzt noch dazu?
Lg Alex.
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Hallo,
> Ich habe mir jetzt die verschiedenen Ableitungen angesehen
> bin mir aber noch unsicher ob das so richtig ist und ob das
> so reicht.
>
> [mm]f(x) \ = \ 2^{\bruch{1}{x}}\cdot{}\ln(-x)[/mm]
>
> Ich sollte nun beweisen das die Funktion streng monoton
> fällt
>
> [mm]f'(x) \ = \ 2x^{\bruch{-1}{2}} * \bruch {-1}{x}[/mm]
Schreibe [mm] 2^{1/x} [/mm] zuerst mit Hilfe der e-Funktion um, so wie in der Antwort von schachuzipus. Benutze dann die Produktregel.
Gruß Patrick
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> Was schreibt man jetzt noch dazu?
>
> Lg Alex.
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Hallo Alex,
kleine Ergänzung zu b)
> b) Zeigen sie das f streng monoton fällt für x kleiner
> als -1
>
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> b) wie zeige ich die Monotoie?????
>
> angefangen habe ich so
>
> [mm]x_{1}kleiner[/mm] als [mm]x_{2}kleiner[/mm] als -1
>
> das ist aber noch kein Beweis, wie geht man weiter vor??
Nun, schreibe es (mit Roadrunners Korrektur) noch weiter um:
[mm]f(x)=2^{\frac{1}{x}}\cdot{}\ln(-x)=e^{\frac{1}{x}\cdot{}\ln(2)}\cdot{}\ln(-x)[/mm]
Nun nutze, dass mit [mm]x_1
1) [mm]-x_1>-x_2[/mm] und
2) [mm]\frac{1}{x_1}>\frac{1}{x_2}[/mm]
Nutze weiterhin das Monotone Wachstum der Exponentialfunktion und des Logarithmus.
So kannst du es direkt ohne die 1.Ableitung lösen.
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> LG Alex
Gruß
schachuzipus
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