Monotonie von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Mats22 |
| Aufgabe | | [mm] y_{0}=0, y_{n+1}=\bruch{1}{2-y_{n}} [/mm] |
Ich soll zeigen dass die Folge monoton wachsend ist!
d.h. ja das gelten muss [mm] y_{n+1}-y_{n}\ge [/mm] 0!
[mm] y_{n+1} [/mm] ist mir ja bekannt aber was ist mit [mm] y_{n}? [/mm] ist das einfach [mm] y_{n} [/mm] also quasi
[mm] \bruch{1}{2-y_{n}}-y_{n}\ge [/mm] 0 ? aber beim auflösen dann haut das irgendwie nicht hin ... :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mats!
> [mm]\bruch{1}{2-y_{n}}-y_{n}\ge[/mm] 0 ?
Was erhältst Du denn beim Zusammanfassen auf der linken Seite?
Wenn Du beide Terme gleichnamig machst, erhältst Du z.B. im Zähler eine binomische Formel.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Loddar,
> Hallo Mats!
>
>
> > [mm]\bruch{1}{2-y_{n}}-y_{n}\ge[/mm] 0 ?
>
> Was erhältst Du denn beim Zusammanfassen auf der linken
> Seite?
> Wenn Du beide Terme gleichnamig machst, erhältst Du z.B.
> im Zähler eine binomische Formel.
jo - das bringt aber nur was, wenn man zudem zeigt, dass der Nenner
$> [mm] 0\,$ [/mm] bleibt. 
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]y_{0}=0, y_{n+1}=\bruch{1}{2-y_{n}}[/mm]
> Ich soll zeigen dass
> die Folge monoton wachsend ist!
zeige zunächst: [mm] $y_n [/mm] > 0$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] (beachte: $0 [mm] \notin \IN$).
[/mm]
Dann folgt die Behauptung wegen
[mm] $$y_1=1/2 [/mm] > [mm] 0=y_0$$
[/mm]
und weil dann für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt
[mm] $$(\*)\;\;\;\;\;y_{n+1}/y_n=\frac{1}{2-y_n}/y_n=\frac{1}{-y_n^2+2y_n}=\frac{1}{-(y_n-1)^2+1}\,,$$
[/mm]
denn wenn [mm] $y_{n+1}$ [/mm] und [mm] $y_n$ [/mm] beide $> [mm] 0\,$ [/mm] sind, dann muss ja
[mm] $y_{n+1}/y_n$ [/mm] auch $> [mm] 0\,$ [/mm] sein, und damit gilt
$$0 < [mm] -(y_n-1)^2+1$$
[/mm]
und somit gemäß [mm] $(\*)$ [/mm] wegen [mm] $-(y_n-1)^2+1 \le [/mm] 1$ folglich (indem man
[mm] $-(y_n-1)^2+1 \le [/mm] 1$ beidseitig durch [mm] $-(y_n-1)^2+1 [/mm] > 0$ teilt) auch
[mm] $$y_{n+1}/y_n \ge [/mm] 1$$
[mm] $$\stackrel{\text{wegen }y_n > 0}{\Longrightarrow} \;\;\;y_{n+1} \ge y_n\,.$$
[/mm]
Hier gibt's noch einen weiteren Vorteil: Wegen $0 < [mm] -(y_n-1)^2+1$ [/mm]
erkennen wir, dass gelten muss
[mm] $$(y_n-1)^2 [/mm] < [mm] 1\;\;\; \gdw\;\;\; [/mm] -1 < [mm] y_n-1 [/mm] < 1 [mm] \;\;\;\Rightarrow\;\;\; y_n [/mm] < [mm] 2\,,$$
[/mm]
(das gilt also für alle $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] und weil auch [mm] $y_0=0 [/mm] < 2$ ist, gilt
[mm] $y_n [/mm] < 2$ für alle $n [mm] \in \IN_0=\IN \cup \{0\}$), [/mm] insbesondere ist also
Deine Folge der [mm] $y_n$ [/mm] durch [mm] $2\,$ [/mm] nach oben beschränkt und damit
insgesamt dann nach dem Hauptsatz über monotone Folgen konvergent!
Der Grenzwert [mm] $y:=\lim_{n \to \infty} y_n$ [/mm] erfüllt dann $y [mm] \ge [/mm] 0$ und
[mm] $$y=\frac{1}{2-y}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]y_{0}=0, y_{n+1}=\bruch{1}{2-y_{n}}[/mm]
> Ich soll zeigen dass
> die Folge monoton wachsend ist!
> d.h. ja das gelten muss [mm]y_{n+1}-y_{n}\ge[/mm] 0!
> [mm]y_{n+1}[/mm] ist mir ja bekannt aber was ist mit [mm]y_{n}?[/mm] ist das
> einfach [mm]y_{n}[/mm] also quasi
> [mm]\bruch{1}{2-y_{n}}-y_{n}\ge[/mm] 0 ?
Du müßtest halt noch irgendwie [mm] $y_n [/mm] < [mm] 2\,$ [/mm] zeigen (eine Möglichkeit
findest Du in meiner anderen Antwort - da gibt's aber sicher auch noch
andere - Versuch mit Induktionsbeweis...), denn wenn Du das benutzt, gilt
[mm] $$\frac{1}{2-y_n}-y_n \ge [/mm] 0$$
[mm] $$\gdw [/mm] 1 [mm] \ge y_n*(2-y_n)$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (y_n-1)^2 \ge 0\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Mats22 |
vielen dank für die antworten!
ich habe es mit gleichnamig machen versucht, aber das ist gescheitert!
jetzt werde ich es mal mit dem anderen weg versuchen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mats,
> vielen dank für die antworten!
> ich habe es mit gleichnamig machen versucht, aber das ist
> gescheitert!
es geht damit auch
[mm] $$y_{n+1}-y_n=\frac{1}{2-y_n}-y_n*\frac{2-y_n}{2-y_n}=\ldots=\frac{(y_n-1)^2}{2-y_n}$$
[/mm]
Das hilft jetzt aber 'nur', wenn man [mm] $2-y_n [/mm] > 0$ bzw. [mm] $y_n [/mm] < 2$ für alle
[mm] $n\,$ [/mm] zudem beweist (damit beweist man insbesondere [mm] $2-y_n \not=0$
[/mm]
für alle [mm] $n\,$): [/mm] Dann folgt damit wegen [mm] $(y_n-1)^2 \ge [/mm] 0$ sodann [mm] $y_{n+1} \ge y_n\,.$
[/mm]
> jetzt werde ich es mal mit dem anderen weg versuchen!
Am Besten wäre es, beide zu versuchen und beide zu verstehen.
Gruß,
Marcel
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