Monotonie und Krümmungsverhalt < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:07 Do 12.03.2009 | | Autor: | dicentra |
| Aufgabe | | in welchen intervalle ist [mm] f(x)=xe^{-x} [/mm] monoton fallend/wachsend, konkav/konvex? |
[mm] f'(x)=e^{-x}+xe^{-x}
[/mm]
[mm] f''(x)=2e^{-x}+xe^{-x}
[/mm]
nun f'(x)=0 setzen, um die intervalle zur monotonie zu finden.
wende ich die logarithmusgesetzte an kommt da ln(0) raus, das geht doch gar nicht...
-x-x=xln(0) ??
gruß, dic
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:22 Do 12.03.2009 | | Autor: | glie |
Hallo,
> in welchen intervalle ist [mm]f(x)=xe^{-x}[/mm] monoton
> fallend/wachsend, konkav/konvex?
> [mm]f'(x)=e^{-x}+xe^{-x}[/mm]
Da steckt ein kleiner Fehler schon in der ersten Ableitung. Also Produktregel hast du ja richtig erkannt, aber wenn du den Faktor [mm] e^{-x} [/mm] ableitest, musst du zusätzlich auch noch die Kettenregel berücksichtigen!
Du erhältst also:
[mm] f'(x)=1*e^{-x}+x*e^{-x}\red{*(-1)}=e^{-x}\red{-}x*e^{-x}
[/mm]
> [mm]f''(x)=2e^{-x}+xe^{-x}[/mm]
>
> nun f'(x)=0 setzen, um die intervalle zur monotonie zu
> finden. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> wende ich die logarithmusgesetzte an kommt da ln(0) raus,
> das geht doch gar nicht...
Welche Gesetze wendest du da an?? Und wie kommst du auf die nächste Gleichung?????
>
> -x-x=xln(0) ??
Mal langsam und sauber aufgeschrieben:
[mm] \mm{f'(x)=0}
[/mm]
[mm] \gdw e^{-x}-x*e^{-x}=0
[/mm]
[mm] \gdw e^{-x}*(1-x)=0
[/mm]
Ein Produkt ergibt Null, wenn einer der Faktoren Null ist, also
[mm] \gdw e^{-x}=0 \vee \mm{1-x=0}
[/mm]
Was sagst du zur ersten dieser beiden Gleichungen?
>
> gruß, dic
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Do 12.03.2009 | | Autor: | dicentra |
> Hallo,
>
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> > in welchen intervalle ist [mm]f(x)=xe^{-x}[/mm] monoton
> > fallend/wachsend, konkav/konvex?
> > [mm]f'(x)=e^{-x}+xe^{-x}[/mm]
>
> Da steckt ein kleiner Fehler schon in der ersten Ableitung.
> Also Produktregel hast du ja richtig erkannt, aber wenn du
> den Faktor [mm]e^{-x}[/mm] ableitest, musst du zusätzlich auch noch
> die Kettenregel berücksichtigen!
>
> Du erhältst also:
>
> [mm]f'(x)=1*e^{-x}+x*e^{-x}\red{*(-1)}=e^{-x}\red{-}x*e^{-x}[/mm]
>
> > [mm]f''(x)=2e^{-x}+xe^{-x}[/mm]
> >
> > nun f'(x)=0 setzen, um die intervalle zur monotonie zu
> > finden.
> >
> > wende ich die logarithmusgesetzte an kommt da ln(0) raus,
> > das geht doch gar nicht...
>
> Welche Gesetze wendest du da an?? Und wie kommst du auf die
> nächste Gleichung?????
> >
> > -x-x=xln(0) ??
>
>
> Mal langsam und sauber aufgeschrieben:
>
> [mm]\mm{f'(x)=0}[/mm]
>
> [mm]\gdw e^{-x}-x*e^{-x}=0[/mm]
>
> [mm]\gdw e^{-x}*(1-x)=0[/mm]
>
> Ein Produkt ergibt Null, wenn einer der Faktoren Null ist,
> also
>
> [mm]\gdw e^{-x}=0 \vee \mm{1-x=0}[/mm]
>
> Was sagst du zur ersten dieser beiden Gleichungen?
das geht nicht, da ich aus 0 keinen logarithmus ziehen kann.
muss ich eine fallunterscheidung machen?
>
>
> >
> > gruß, dic
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Do 12.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> > [mm]\gdw e^{-x}=0 \vee \mm{1-x=0}[/mm]
> >
> > Was sagst du zur ersten dieser beiden Gleichungen?
> das geht nicht, da ich aus 0 keinen logarithmus ziehen
> kann.
> muss ich eine fallunterscheidung machen?
Nein.
[mm] e^{-x}=0 \vee \mm{1-x=0} \gdw [/mm] x=1
(da [mm] e^{-x} \not= [/mm] 0 für jedes x)
FRED
>
> >
> >
> > >
> > > gruß, dic
> >
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Do 12.03.2009 | | Autor: | dicentra |
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> > > [mm]\gdw e^{-x}=0 \vee \mm{1-x=0}[/mm]
> > >
> > > Was sagst du zur ersten dieser beiden Gleichungen?
> > das geht nicht, da ich aus 0 keinen logarithmus ziehen
> > kann.
> > muss ich eine fallunterscheidung machen?
>
>
>
> Nein.
>
> [mm]e^{-x}=0 \vee \mm{1-x=0} \gdw[/mm] x=1
>
> (da [mm]e^{-x} \not=[/mm] 0 für jedes x)
>
> FRED
>
okay, dann kommt da streng monoton wachsend in (1; [mm] \infty) [/mm] raus.
f''(x)= [mm] -2*e^{-x}+x*e^{-x}
[/mm]
x=2 also x>0 also konvex?
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Hallo dicentra,
> >
> > > > [mm]\gdw e^{-x}=0 \vee \mm{1-x=0}[/mm]
> > > >
> > > > Was sagst du zur ersten dieser beiden Gleichungen?
> > > das geht nicht, da ich aus 0 keinen logarithmus
> ziehen
> > > kann.
> > > muss ich eine fallunterscheidung machen?
> >
> >
> >
> > Nein.
> >
> > [mm]e^{-x}=0 \vee \mm{1-x=0} \gdw[/mm] x=1
> >
> > (da [mm]e^{-x} \not=[/mm] 0 für jedes x)
> >
> > FRED
> >
> okay, dann kommt da streng monoton wachsend in (1; [mm]\infty)[/mm]
> raus.
>
> f''(x)= [mm]-2*e^{-x}+x*e^{-x}[/mm]
>
> x=2 also x>0 also konvex?
>
Leider nein.
[mm]f''\left(x\right)=\left(x-2\right)e^{-x}[/mm]
Wann ist [mm]f''\left(x\right) > 0 [/mm] ?
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Do 12.03.2009 | | Autor: | dicentra |
> Hallo dicentra,
>
> > >
> > > > > [mm]\gdw e^{-x}=0 \vee \mm{1-x=0}[/mm]
> > > > >
> > > > > Was sagst du zur ersten dieser beiden Gleichungen?
> > > > das geht nicht, da ich aus 0 keinen logarithmus
> > ziehen
> > > > kann.
> > > > muss ich eine fallunterscheidung machen?
> > >
> > >
> > >
> > > Nein.
> > >
> > > [mm]e^{-x}=0 \vee \mm{1-x=0} \gdw[/mm] x=1
> > >
> > > (da [mm]e^{-x} \not=[/mm] 0 für jedes x)
> > >
> > > FRED
> > >
> > okay, dann kommt da streng monoton wachsend in (1; [mm]\infty)[/mm]
> > raus.
> >
> > f''(x)= [mm]-2*e^{-x}+x*e^{-x}[/mm]
> >
> > x=2 also x>0 also konvex?
> >
>
>
> Leider nein.
>
> [mm]f''\left(x\right)=\left(x-2\right)e^{-x}[/mm]
>
> Wann ist [mm]f''\left(x\right) > 0[/mm] ?
dann, wenn beide terme positiv oder beide negativ sind.
also muss x>2 sein und das andere is sowieso immer positiv.
also konvex im intervall [mm] (2,\infty)?
[/mm]
>
>
> Gruß
> MathePower
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Hallo dicentra,
> > [mm]f''\left(x\right)=\left(x-2\right)e^{-x}[/mm]
> >
> > Wann ist [mm]f''\left(x\right) > 0[/mm] ?
> dann, wenn beide terme positiv oder beide negativ sind.
> also muss x>2 sein und das andere is sowieso immer
> positiv.
> also konvex im intervall [mm](2,\infty)?[/mm]
Ja.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Do 12.03.2009 | | Autor: | dicentra |
ausgezeichnet, danke!  dic
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