Monotonie und Beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)Zeigen das die Folge [mm] a_n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} \bruch{1}{k!} [/mm] streng monoton wachsend und nach oben beschränkt ist.
b) es gilt e [mm] \le [/mm] a , a= lim [mm] a_n [/mm] |
Hallo,
bin zunächst bei der a).
Die Monotonie kriege ich noch hin:
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n + 1} \bruch{1}{k!} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} \bruch{1}{k!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{ (n+1)!} [/mm] = [mm] a_n [/mm] + [mm] \bruch{1}{ (n+1)!} \ge a_n
[/mm]
Bei der Beschränktheit komm ich jedoch nicht weiter:
Ich soll ja zeigen das [mm] \forall [/mm] n [mm] \in [/mm] N : [mm] a_n \ge [/mm] S , mit S [mm] \in [/mm] R
jetzt habe ich die Summe ausgeschrieben:
[mm] a_n [/mm] = 1+1+0,5 + [mm] ...+\bruch{1}{n!} [/mm]
wie ich jetzt richtig zeige, dass es nach oben beschränkt ist, weiß ich jedoch nicht.
Snafu
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Hallo SnafuBernd,
> a)Zeigen das die Folge [mm]a_n[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{n} \bruch{1}{k!}[/mm]
> streng monoton wachsend und nach oben beschränkt ist.
> b) es gilt e [mm]\le[/mm] a , a= lim [mm]a_n[/mm]
> Hallo,
>
> bin zunächst bei der a).
> Die Monotonie kriege ich noch hin:
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{n + 1} \bruch{1}{k!}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{n} \bruch{1}{k!}[/mm] + [mm]\bruch{1}{ (n+1)!}[/mm] = [mm]a_n[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{ (n+1)!} \ge a_n[/mm]
>
> Bei der Beschränktheit komm ich jedoch nicht weiter:
> Ich soll ja zeigen das [mm]\forall[/mm] n [mm]\in[/mm] N : [mm]a_n \ge[/mm] S , mit S
> [mm]\in[/mm] R
Nein. Das würde bedeuten, dass die Folge nur nach unten beschränkt ist.
Die Funktion ist offensichtlich durch die Eins nach unten Beschränkt.
Es gilt nämlich $\ [mm] a_0 [/mm] = 1 $ und die Folge ist monoton wachsend $\ [mm] \Rightarrow a_n [/mm] > 1 $ für alle $\ n [mm] \in \IN [/mm] $
Zeige, dass es eine Konstante $\ K $ so gibt, dass $\ [mm] a_n [/mm] < K $ für alle $\ n [mm] \in \IN [/mm] $
Berechne hierfür den Grenzwert der Folge $\ [mm] a_n [/mm] $. Dieser ergibt sich aus dem Reihenwert von [mm]\summe_{i=0}^{n} \bruch{1}{k!}[/mm]
> jetzt habe ich die Summe ausgeschrieben:
> [mm]a_n[/mm] = 1+1+0,5 + [mm]...+\bruch{1}{n!}[/mm]
> wie ich jetzt richtig zeige, dass es nach oben beschränkt
> ist, weiß ich jedoch nicht.
>
> Snafu
Viele Grüße
ChopSuey
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Hi,
das Problem ist die Aufgabe ist so aufgebaut, dass die Tatsache dass es einen Grenzwert gibt, als Schlussfolgerung dieser Aufgabe herauskommen soll, d.h. ich kann nicht mit ihm direkt arbeiten.
Snafu
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Hallo,
denke doch mal an die Potenzreihenentwicklung der e-funktion... Wenn du das ganze entwickelst hast du:
[mm] \bruch{1}{1}+\bruch{1}{1}+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+...+\bruch{1}{k!}\le [/mm] 2+ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2^n}
[/mm]
Und das letzte sieht doch verdächtig nach einer geometrischen Reihe aus.
Lg
Lg
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Hi,
2+ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2^n} [/mm] = 2 + [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^n [/mm] = 2 + [mm] \bruch{1}{1 - 0,5}
[/mm]
= 4
Stimmt es so, oder habe ich da den falschen Grenzwert?
Snafu
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Hallo SnafuBernd,
> Hi,
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> stehe grade auf dem Schlauch. Verstehe deine Abschätzung,
> weiß aber nicht wie sie mir weiter hilft?
Na, du kennst doch sicher eine Formel für die unendliche geometrische Reihe:
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q}$ [/mm] für alle [mm] $q\in\IR$ [/mm] mit $|q|<1$
Hier bei dir [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n$, [/mm] also [mm] $q=\frac{1}{2}$.
[/mm]
Außerdem beginnt deine Summe bei [mm] $n=\red{1}$, [/mm] die Formel gilt aber ab [mm] $n=\red{0}$
[/mm]
Passe das entsprechend an.
Damit bekommst du dann die gewünschte Abschätzung...
[mm] $\ldots
[/mm]
>
> Snafu
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
> Hi,
>
> 2+ [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2^n}[/mm] = 2 +
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^n[/mm] = 2 + [mm]\bruch{1}{1 - 0,5}[/mm]
>
> = 4
> Stimmt es so, oder habe ich da den falschen Grenzwert?
Das stimmt fast, beachte, dass die Reihe bei $n=1$ losgeht ...
Du musst also den Summanden für n=0, also [mm] $\left(1/2\right)^0=1$ [/mm] noch vom GW abziehen ...
Das gibt als Schranke dann 3, also ist deine 4 sicher auch eine obere Schranke 
> Snafu
Gruß
schachuzipus
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Hey,
bin jetzt bei der b)
soll jetzt zunächst zeigen das [mm] e\le [/mm] a ist , e= Eulersche Zahl , a = Grenzwert aus der a.
Dafür steht in der Aufgabe als Info e = lim (1 + [mm] \bruch{1}{n})^n
[/mm]
Ich weiß dass, wenn die Glieder der einen Folge alle kleiner sind als die der anderen so ist der Grenzwert der einen auch kleiner als der der anderen.
D.h. ich zeige nur das [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} 1^{n-k} (\bruch{1}{n})^k \le \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}
[/mm]
Ab hier wirds für mich schwierig...ich schaffs noch zu vereinfachen:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} 1^{n-k} (\bruch{1}{n})^k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{n!}{k!(n-k)!} (\bruch{1}{n})^k [/mm] =
[mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} \bruch{n!}{(n-k)! n^k} [/mm]
jetzt muss ich nur zeigen können dass; [mm] \bruch{n!}{(n-k)! n^k} \le [/mm] 1 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in [/mm] N
Snafu
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Mi 28.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Hey,
> bin jetzt bei der b)
> soll jetzt zunächst zeigen das [mm]e\le[/mm] a ist , e= Eulersche
> Zahl , a = Grenzwert aus der a.
>
> Dafür steht in der Aufgabe als Info e = lim (1 +
> [mm]\bruch{1}{n})^n[/mm]
> Ich weiß dass, wenn die Glieder der einen Folge alle
> kleiner sind als die der anderen so ist der Grenzwert der
> einen auch kleiner als der der anderen.
> D.h. ich zeige nur das [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} 1^{n-k} (\bruch{1}{n})^k \le \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}[/mm]
>
> Ab hier wirds für mich schwierig...ich schaffs noch zu
> vereinfachen:
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} 1^{n-k} (\bruch{1}{n})^k[/mm]
> = [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{n!}{k!(n-k)!} (\bruch{1}{n})^k[/mm]
> =
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} \bruch{n!}{(n-k)! n^k}[/mm]
> jetzt muss ich nur zeigen können dass; [mm]\bruch{n!}{(n-k)! n^k} \le[/mm]
> 1 [mm]\forall[/mm] n [mm]\in[/mm] N
>
> Snafu
Hallo,
in [mm] \bruch{n!}{(n-k)! n^k} [/mm] kannst du (n-k)! kürzen.
Übrig bleibt [mm] \bruch{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{ n^k} [/mm] .
Der Zähler hat jetzt noch k Faktoren, und der Nenner hat k (größere) Faktoren.
Gruß Abakus
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