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Forum "Folgen und Reihen" - Monotonie und Beschränktheit
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Monotonie und Beschränktheit: Folge a=(c^n)/n!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:08 Do 03.03.2005
Autor: stefan_wichmann

Hallo und guten Abend!
Ich bin bei der prüfungsvorbereitung leider bei einer Frage stecken geblieben und nun weiss ich überhaupt nicht mehr, wie ich das machen soll.

Es geht um die Untersuchung der Beschränktheit und Monotonie der Zahlenfolge

[mm] a=\bruch{c^{n}}{n!} [/mm] für [mm] c\in\IR [/mm] und c>0

Ich habe durch austesten herausgefunden, dass die Folge nach unten durch 1 beschränkt ist und auch monoton fallend verläuft.

Vielen Dank schon mal im Voraus und einen schönen Abend!

Gruss,
Stefan

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Monotonie und Beschränktheit: Monotonie
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:48 Do 03.03.2005
Autor: Loddar

Hallo Stefan,

auch Dir hier ein [willkommenmr] (als Berliner sowieso ;-) ) !!


Die Monotonie eine Zahlenfolge [mm] $$ [/mm] kannst Du leicht nachweisen durch folgende Relationen (hier mal für monoton fallend):

[mm] $a_{n+1} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] a_n$ [/mm]

[mm] $\gdw$ [/mm]

[mm] $a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 0$   bzw.   [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 1$

Für "streng monoton fallend" darf dann nur ein "<" stehen !!


Für Deine Folge [mm] $$ [/mm] bietet sich hier der Nachweis über den Quotienten an:

[mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{c^{n+1}}{(n+1)!}}{\bruch{c^n}{n!}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{c^{n+1} * n!}{(n+1)! * c^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{c^n * c^1 * n!}{n! * (n+1) * c^n} [/mm] \ = \ ...$


Kommst Du nun alleine weiter?

Grüße aus Berlin ;-)
Loddar

Bezug
        
Bezug
Monotonie und Beschränktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:07 Fr 04.03.2005
Autor: Max

Hallo Stefan,

ich bin mir sicher, dass die Folge [mm] $\left(a_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ [/mm] nicht die untere Grenze $1$ sondern $0$ hat(Ein Fall in dem man das sehr leicht sieht ist $c=1$). Ansonsten hat dir ja Loddar alles zur Monotonie aufgeschrieben.

Gruß Brackhaus

Bezug
                
Bezug
Monotonie und Beschränktheit: Problem gelöst / Vielen Dank!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:08 Fr 04.03.2005
Autor: stefan_wichmann

Hallo,
Vielen Dank an euch beide (Loddar und Brackhaus) für die schnellen Antworten!
Ich konnte den Beweis dank euren Ansätzen allein weiterführen.

Gruss,
Stefan
Bezug
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