Monotonie mit Parameter in f < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Mo 05.09.2005 | | Autor: | tux_03 |
Hallo,
ich habe da mal eine Frage zu dieser Aufgabe:
Berechne möglichst große Intervalle, in denen f monoton ist (Unterscheide verschiedene Fälle für den Parameter [mm] a [/mm] ).
[mm] f\left( x \right)= \left(a+x^2 \right)e^x [/mm]
Normalerweise würde ich jetzt die Ableitung berechnen:
[mm] f'\left( x \right)=e^x \left(a+2x+x^2 \right) [/mm]
und dann laut Defintionen der Monotonie beide Fälle so aufschreiben:
[mm] f'\left( x \right)=e^x \left(a+2x+x^2 \right) \le 0 [/mm] (monoton fallend)
[mm] f'\left( x \right)=e^x \left(a+2x+x^2 \right) \ge 0 [/mm] (monoton wachsend)
Und dann nach x umstellen. Dann hätte ich die x, wo der Graph entweder monoton f. oder monoton w. ist. Da aber die Funktion "mehrere x" hat, weiss ich nicht wie ich hier weitermachen soll (es ist hier nicht möglich einfach so nach x umzustellen oder?).
Oder bin ich mit diesem Lösungsansatz total daneben? Sollte man hier lieber mit den Extrema von f arbeiten? Und wenn ja wie?
Ciao tux_03
Erstposting:
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[Hier gibst du bitte die direkten Links zu diesen Fragen an.]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo tux,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Normalerweise würde ich jetzt die Ableitung berechnen:
>
> [mm]f'\left( x \right)=e^x \left(a+2x+x^2 \right) [/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und dann nach x umstellen.
Du musst ja nicht komplett nach $x_$ umstellen (was für diese Ableitungsfunktion auch nicht möglich wäre).
Aber berechne doch mal die Nullstellen der ersten Ableitung, denn dort wechselt ja die Monotonie ...
Und bei dieser Nullstellenberechnung [mm] $e^x*\left(x^2+2x+a\right) [/mm] \ = \ 0$ fliegt die e-Funktion ja schnell heraus, so dass Du hier in Abhängigkeit vom Parameter $a_$ die Monotoniebereiche angeben kannst.
Deinen Funktionsschar sieht dann für verschiedene Werte von $a_$ so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Natürlich kannst Du auch über die Extremwerte argumentieren: Für welche $a_$ auch wirklich Extremwerte existieren oder nicht.
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo tux!
Letztendlich hast Du doch folgende quadratische Gleichung zu lösen:
[mm] $x^2+2x+a [/mm] \ = \ 0$
Wende hier doch mal z.B. die  p/q-Formel an, um die Nullstellen der 1. Ableitung zu ermitteln.
Dabei entsteht ja auch ein Wurzelausdruck. Diesen musst Du dann untersuchen, für welche $a_$ dieser Wurzelausdruck überhaupt definiert ist ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mo 05.09.2005 | | Autor: | tux_03 |
Hallo Loddar,
>
>
> Letztendlich hast Du doch folgende quadratische Gleichung
> zu lösen:
>
> [mm]x^2+2x+a \ = \ 0[/mm]
>
Gut. Ist das dann unten so richtig?:
>
> Dabei entsteht ja auch ein Wurzelausdruck. Diesen musst Du
> dann untersuchen, für welche [mm]a_[/mm] dieser Wurzelausdruck
> überhaupt definiert ist ...
>
Für obige Gleichung habe ich dann folgendes raus:
[mm]x_{1/2}=-1 \pm\wurzel{1-a} [/mm] für [mm] a\le1 [/mm]
Also folgt dann für diese [mm]a[/mm] Monotonie. Für [mm]a>1[/mm] folgt dann keine Monotonie, weil der Wurzelausdruck nach der P/Q-Formel hier nicht definiert ist.
Falls das stimmt, wie schaut das ganze mit Intervallgrenzen aus? Vielleicht kannst du kurz noch was dazu sagen, weil mein Script da ziemlich spartanisch gehalten ist. Danke
Ciao Stefan
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Hallo tux_03,
> Hallo Loddar,
> >
> >
> > Letztendlich hast Du doch folgende quadratische Gleichung
> > zu lösen:
> >
> > [mm]x^2+2x+a \ = \ 0[/mm]
> >
> Gut. Ist das dann unten so richtig?:
> >
> > Dabei entsteht ja auch ein Wurzelausdruck. Diesen musst Du
> > dann untersuchen, für welche [mm]a_[/mm] dieser Wurzelausdruck
> > überhaupt definiert ist ...
> >
> Für obige Gleichung habe ich dann folgendes raus:
>
> [mm]x_{1/2}=-1 \pm\wurzel{1-a}[/mm] für [mm]a\le1[/mm]
>
> Also folgt dann für diese [mm]a[/mm] Monotonie. Für [mm]a>1[/mm] folgt dann
> keine Monotonie, weil der Wurzelausdruck nach der
> P/Q-Formel hier nicht definiert ist.
Nein, für [mm]a\; \geqslant \;1[/mm] ist [mm]f'(x)\;\geqslant\;0[/mm]
Für [mm]a\;\red{<}\;1[/mm] müssen die Monotoniebereiche aufgeschlüsselt werden.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Di 06.09.2005 | | Autor: | tux_03 |
Hallo MathePower,
> > [mm]x_{1/2}=-1 \pm\wurzel{1-a}[/mm] für [mm]a\le1[/mm]
> Nein, für [mm]a\; \geqslant \;1[/mm] ist [mm]f'(x)\;\geqslant\;0[/mm]
> Für [mm]a\;\red{<}\;1[/mm] müssen die Monotoniebereiche
> aufgeschlüsselt werden.
Hmm. Sollte das nicht für [mm] a\le1[/mm] sein, da man ja aus 0 noch die Wurzel ziehen kann?
Also so habe ich das jetzt verstanden:
Wenn [mm] a \le 1 \Rightarrow f' \left(x\right)=0 \Rightarrow [/mm] f ist monoton (fallend oder steigend, wegen Gleichheitszeichen)
und
Wenn [mm] a > 1 \Rightarrow f' \left(x\right) \not= 0 \Rightarrow [/mm] f ist streng monoton (fallend oder steigend), aber das war ja nicht gefragt. Es ging ja "nur" um Intervalle, in denen f abhängig von Parameter [mm]a[/mm] monoton ist.
Stimmt das so? Falls ja wie sehen dann die Intervallgrenzen für die Monotonie für f aus? Ich meine mit solchen: [mm]\left[ \right] [/mm] Klammerchen.
Ciao tux_03
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Hallo tux_03,
> Hallo MathePower,
>
> > > [mm]x_{1/2}=-1 \pm\wurzel{1-a}[/mm] für [mm]a\le1[/mm]
>
> > Nein, für [mm]a\; \geqslant \;1[/mm] ist [mm]f'(x)\;\geqslant\;0[/mm]
>
> > Für [mm]a\;\red{<}\;1[/mm] müssen die Monotoniebereiche
> > aufgeschlüsselt werden.
> Hmm. Sollte das nicht für [mm]a\le1[/mm] sein, da man ja aus 0 noch
> die Wurzel ziehen kann?
>
> Also so habe ich das jetzt verstanden:
>
> Wenn [mm]a \le 1 \Rightarrow f' \left(x\right)=0 \Rightarrow[/mm]
> f ist monoton (fallend oder steigend, wegen
> Gleichheitszeichen)
Hier kann f'(x) alle Werte aus [mm]\IR[/mm] annehmen.
Die Folgerung stimmt.
>
> und
>
> Wenn [mm]a > 1 \Rightarrow f' \left(x\right) \not= 0 \Rightarrow[/mm]
> f ist streng monoton (fallend oder steigend), aber das war
> ja nicht gefragt. Es ging ja "nur" um Intervalle, in denen
> f abhängig von Parameter [mm]a[/mm] monoton ist.
f ist für alle a monoton.
Wenn a > 1, dann ist f'(x) > 0. Also sogar streng monoton steigend.
>
> Stimmt das so? Falls ja wie sehen dann die Intervallgrenzen
> für die Monotonie für f aus? Ich meine mit solchen: [mm]\left[ \right][/mm]
> Klammerchen.
Da ist zu unterscheiden für welche a:
Für a > 1 ist die Funktion für alle [mm]x\;\in\;\IR[/mm] streng monoton steigend.
Für a = 1 ist die Funktion für alle [mm]x\;\in\;\IR[/mm] monoton steigend.
[mm]
\begin{gathered}
x_0 \; = \; - 1\; - \;\sqrt {1\; - \;a} \hfill \\
x_1 \; = \; - 1\; + \;\sqrt {1\; - \;a} \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Dann ergibt sich für a < 1:
[mm]
\begin{gathered}
f'(x)\; \geqslant \;0\; \Leftrightarrow \;x\; \in \;\left] { - \infty ,\;x_0 } \right]\; \cup \;\left[ {x_1 ,\;\infty } \right[ \hfill \\
f'(x)\; \leqslant \;0\; \Leftrightarrow \;x\; \in \;\left[ {x_0 ,\;x_1 } \right] \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Di 06.09.2005 | | Autor: | tux_03 |
Hallo MathePower,
> Da ist zu unterscheiden für welche a:
>
> Für a > 1 ist die Funktion für alle [mm]x\;\in\;\IR[/mm] streng
> monoton steigend.
Genau das verstehe ich nicht. Ausser, dass [mm]f'\left(x \right)\not=0[/mm] ist könnte ich dazu nichts sagen, ausser, dass sich für diese [mm]a[/mm] die Monotonie nicht verändert(weil keine Nullstellen definiert sind) und irgendwie streng sein muss. Wie kommst du denn hier auf streng monoton "wachsend"? (Kurz: der Sinn(wachsend/fallend) der Monotonie ist mir hier unklar).
> Für a = 1 ist die Funktion für alle [mm]x\;\in\;\IR[/mm] monoton
> steigend.
Hier genau dasselbe, der Sinn?
> [mm]
\begin{gathered}
x_0 \; = \; - 1\; - \;\sqrt {1\; - \;a} \hfill \\
x_1 \; = \; - 1\; + \;\sqrt {1\; - \;a} \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
>
> Dann ergibt sich für a < 1:
>
> [mm]
\begin{gathered}
f'(x)\; \geqslant \;0\; \Leftrightarrow \;x\; \in \;\left] { - \infty ,\;x_0 } \right]\; \cup \;\left[ {x_1 ,\;\infty } \right[ \hfill \\
f'(x)\; \leqslant \;0\; \Leftrightarrow \;x\; \in \;\left[ {x_0 ,\;x_1 } \right] \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
>
Hier kommts mir auch wieder auf den Sinn(wachsend/fallend?) an. Hast du mit einigen geeigneten Funktionswerten von f gearbeitet? Also mit einem a < 1 und 2x-Werte vor und nach der jeweiligen Nullstelle eingesetzt? Und dann die y-Werte verglichen? Oder gehts auch einfacher?
Ciao tux_03
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Mi 07.09.2005 | | Autor: | tux_03 |
Hallo MathePower,
ok. Habe noch mal etwas genauer überlegt:
Wenn ich die Nullstellen der 1. Ableitung von f (f'(x)) habe, dann habe ich zumindest schon mal für den Parameter [mm]a[/mm] eine Eingrenzung (wegen den Extremstellen --> Änderung der Monotonie, falls eine vorliegt) bezogen auf Monotonie. Wenn ich dann von f Funktionswerte mit einem passenden [mm]a[/mm] für die gewonnenen Bereiche (Intervalle) berechne (2 hinter u. 2 vor d. Extremstelle) und vergleiche, kann ich die Monotonie ja angeben. Wenn dann wie hier für [mm]a[/mm] aufgrund der P/Q-Formel keine Nullstellen der 1. Ableitung (Extremstellen von f) existieren (definiert sind), sollte es ausreichen, mit einem passenden [mm]a[/mm] eben aus dem nicht definierten Bereich (a>1) Funktionswerte zu berechnen u. zu vergleichen, um dann die Monotonie auch in diesem Bereich angeben zu können (diese ändert sich ja dann nicht, weil keine Extrema vorliegen --> gilt dann für alle x aus dem Intervall).
So. Ich hoffe, ich habs verstanden. Wär gut, wenn ich noch ein ja/nein-Echo kriegen könnte.
Ciao tux_03
PS: Hätte beim Abi nicht so viel Kreide holen sollen 
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Hallo tux_03,
> Wenn ich die Nullstellen der 1. Ableitung von f (f'(x))
> habe, dann habe ich zumindest schon mal für den Parameter [mm]a[/mm]
> eine Eingrenzung (wegen den Extremstellen --> Änderung der
> Monotonie, falls eine vorliegt) bezogen auf Monotonie. Wenn
> ich dann von f Funktionswerte mit einem passenden [mm]a[/mm] für die
> gewonnenen Bereiche (Intervalle) berechne (2 hinter u. 2
> vor d. Extremstelle) und vergleiche, kann ich die Monotonie
> ja angeben. Wenn dann wie hier für [mm]a[/mm] aufgrund der
> P/Q-Formel keine Nullstellen der 1. Ableitung
> (Extremstellen von f) existieren (definiert sind), sollte
> es ausreichen, mit einem passenden [mm]a[/mm] eben aus dem nicht
> definierten Bereich (a>1) Funktionswerte zu berechnen u. zu
> vergleichen, um dann die Monotonie auch in diesem Bereich
> angeben zu können (diese ändert sich ja dann nicht, weil
> keine Extrema vorliegen --> gilt dann für alle x aus dem
> Intervall).
Das kannste alles allgemein machen, für ein beliebiges a.
Für a < 1 kennste ja diese Darstellung:
[mm]f'(x)\; = \;\left( {x\; - \;x_0 } \right)\;\left( {x\; - \;x_1 } \right)\;e^x [/mm]
,wobei [mm]x_{0},\;x_{1}[/mm] die Nullstellen von f'(x) sind.
Hier liegt es Nahe eine Fallunterscheidung zu machen:
[mm]
\begin{gathered}
i)\;f'(x)\; > \;0 \hfill \\
1)\;x\; - \;x_0 \; > \;0\; \wedge \;x\; - \;x_1 \; > \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;x\; > \;x_0 \; \wedge \;x\; > \;x_1 \hfill \\
\Rightarrow \;L_1 \; = \;\left\{ {x\; \in \;\mathbb{R}|\;x\; > \;x_1 } \right\} \hfill \\
2)\;x\; - \;x_0 \; < \;0\; \wedge \;x\; - \;x_1 \; < \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;x\; < \;x_0 \; \wedge \;x\; < \;x_1 \hfill \\
\Rightarrow \;L_2 \; = \;\left\{ {x\; \in \;\mathbb{R}|\;x\; > \;x_0 } \right\} \hfill \\
ii)\;f'(x)\; < \;0 \hfill \\
1)\;x\; - \;x_0 \; > \;0\; \wedge \;x\; - \;x_1 \; < \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;x\; > \;x_0 \; \wedge \;x\; < \;x_1 \hfill \\
\Rightarrow \;L_3 \; = \;\left\{ {x\; \in \;\mathbb{R}|\;x_0 \; < x\; < \;x_1 } \right\} \hfill \\
2)\;x\; - \;x_0 \; < \;0\; \wedge \;x\; - \;x_1 \; > \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;x\; < \;x_0 \; \wedge \;x\; > \;x_1 \hfill \\
\Rightarrow \;L_4 \; = \;\left\{ {} \right\} \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Es ergibt sich:
[mm]
\begin{gathered}
f'(x)\; > \;0\; \Leftrightarrow \;x\; \in \;L_1 \; \vee x\; \in \;L_2 \hfill \\
f'(x)\; < \;0\; \Leftrightarrow \;x\; \in \;L_3 \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Mi 07.09.2005 | | Autor: | tux_03 |
Hallo MathePower,
>
> > Wenn ich die Nullstellen der 1. Ableitung von f (f'(x))
> > habe, dann habe ich zumindest schon mal für den Parameter [mm]a[/mm]
> > eine Eingrenzung (wegen den Extremstellen --> Änderung der
> > Monotonie, falls eine vorliegt) bezogen auf Monotonie. Wenn
> > ich dann von f Funktionswerte mit einem passenden [mm]a[/mm] für die
> > gewonnenen Bereiche (Intervalle) berechne (2 hinter u. 2
> > vor d. Extremstelle) und vergleiche, kann ich die Monotonie
> > ja angeben. Wenn dann wie hier für [mm]a[/mm] aufgrund der
> > P/Q-Formel keine Nullstellen der 1. Ableitung
> > (Extremstellen von f) existieren (definiert sind), sollte
> > es ausreichen, mit einem passenden [mm]a[/mm] eben aus dem nicht
> > definierten Bereich (a>1) Funktionswerte zu berechnen u. zu
> > vergleichen, um dann die Monotonie auch in diesem Bereich
> > angeben zu können (diese ändert sich ja dann nicht, weil
> > keine Extrema vorliegen --> gilt dann für alle x aus dem
> > Intervall).
>
> Das kannste alles allgemein machen, für ein beliebiges
> a.
Also war der lange Text erst mal so richtig. Oder?
> Für a < 1 kennste ja diese Darstellung:
>
> [mm]f'(x)\; = \;\left( {x\; - \;x_0 } \right)\;\left( {x\; - \;x_1 } \right)\;e^x[/mm]
Mmmm nein :-( , Wie kommst du darauf?
Die logischen Folgerungen unter der Schnip-Schnap-Markierung leuchten mir ein. Gute Arbeit!!! (Mir wäre sowas in einer Klausur nie eingefallen.)
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> ,wobei [mm]x_{0},\;x_{1}[/mm] die Nullstellen von f'(x) sind.
>
> Hier liegt es Nahe eine Fallunterscheidung zu machen:
>
> [mm]
\begin{gathered}
i)\;f'(x)\; > \;0 \hfill \\
1)\;x\; - \;x_0 \; > \;0\; \wedge \;x\; - \;x_1 \; > \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;x\; > \;x_0 \; \wedge \;x\; > \;x_1 \hfill \\
\Rightarrow \;L_1 \; = \;\left\{ {x\; \in \;\mathbb{R}|\;x\; > \;x_1 } \right\} \hfill \\
2)\;x\; - \;x_0 \; < \;0\; \wedge \;x\; - \;x_1 \; < \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;x\; < \;x_0 \; \wedge \;x\; < \;x_1 \hfill \\
\Rightarrow \;L_2 \; = \;\left\{ {x\; \in \;\mathbb{R}|\;x\; > \;x_0 } \right\} \hfill \\
ii)\;f'(x)\; < \;0 \hfill \\
1)\;x\; - \;x_0 \; > \;0\; \wedge \;x\; - \;x_1 \; < \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;x\; > \;x_0 \; \wedge \;x\; < \;x_1 \hfill \\
\Rightarrow \;L_3 \; = \;\left\{ {x\; \in \;\mathbb{R}|\;x_0 \; < x\; < \;x_1 } \right\} \hfill \\
2)\;x\; - \;x_0 \; < \;0\; \wedge \;x\; - \;x_1 \; > \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;x\; < \;x_0 \; \wedge \;x\; > \;x_1 \hfill \\
\Rightarrow \;L_4 \; = \;\left\{ {} \right\} \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
>
> Es ergibt sich:
>
> [mm]
\begin{gathered}
f'(x)\; > \;0\; \Leftrightarrow \;x\; \in \;L_1 \; \vee x\; \in \;L_2 \hfill \\
f'(x)\; < \;0\; \Leftrightarrow \;x\; \in \;L_3 \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Ciao tux_03
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Hallo tux_03,
> >
> > Das kannste alles allgemein machen, für ein beliebiges
> > a.
> Also war der lange Text erst mal so richtig. Oder?
Ja.
>
> > Für a < 1 kennste ja diese Darstellung:
> >
> > [mm]f'(x)\; = \;\left( {x\; - \;x_0 } \right)\;\left( {x\; - \;x_1 } \right)\;e^x[/mm]
>
> Mmmm nein :-( , Wie kommst du darauf?
ich habe den Fundamentalsatz der Algebra angewendet.
Dieser Satz sagt unter anderem, daß man p(x) in der Form
[mm]p(x)\; = \;a\;\left( {x\; - \;x_1 } \right)\; \cdots \;\left( {x\; - \;x_n } \right)[/mm]
schreiben kann, wobei die [mm]x_{i}[/mm] die Lösungen von [mm]p(x)\;=\;0[/mm] sind und a der Koeffizient von [mm]x^{n}[/mm] ist.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Do 08.09.2005 | | Autor: | tux_03 |
Hallo MathePower,
das war sehr aufschlußreich. Ich habe diesbezüglich keine weiteren fragen mehr. 
Ciao tux_03
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