Monotonie einer Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich habe eine Folge von der ich weiß, dass sie monoton fällt, aber ich bekomme es nicht hin das zu beweisen.
[mm] a_{k} [/mm] = [mm] (k+1)^{\bruch{1}{4}} [/mm] - [mm] k^{\bruch{1}{4}}
[/mm]
Vielleicht hat ja jemand eine Lösung oder einen Tipp zur Bearbeitung.
Freue mich echt über alles, dass mir zur Lösung weiterhilft.
LG
Prof
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Fallende Monotonie kannst du beweisen, indem du [mm] $a_n>a_{n+1}$ [/mm] beweist. Da gelingt dir indem du
[mm] $0
zeigst. Oder folgendes
[mm] $\frac{a_n}{a_{n+1}}>1$
[/mm]
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Ich kenne die Vorgehensweise zum Nachweis von Monotonie, aber ich habe mit dieser Folge ein Problem...
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Hallo,
probiere folgendes:
[mm] $\sqrt[4]{k+1} [/mm] - [mm] \sqrt[4]{k} [/mm] = [mm] \frac{(\sqrt[4]{k+1} - \sqrt[4]{k})*(\sqrt[4]{k+1} + \sqrt[4]{k})}{\sqrt[4]{k+1} + \sqrt[4]{k}} [/mm] = [mm] \frac{\sqrt[2]{k+1} - \sqrt[2]{k}}{\sqrt[4]{k+1} + \sqrt[4]{k}} [/mm] = [mm] \frac{(\sqrt[2]{k+1} - \sqrt[2]{k})*(\sqrt[2]{k+1} + \sqrt[2]{k})}{(\sqrt[4]{k+1} + \sqrt[4]{k})*(\sqrt[2]{k+1} + \sqrt[2]{k})}$,
[/mm]
nun nochmal 3. binomische Formel im Zähler und dann kann man die Monotonie ablesen, da der Nenner für wachsendes k immer größer wird.
Grüße,
Stefan
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> Hallo,
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> probiere folgendes:
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> [mm]\sqrt[4]{k+1} - \sqrt[4]{k} = \frac{(\sqrt[4]{k+1} - \sqrt[4]{k})*(\sqrt[4]{k+1} + \sqrt[4]{k})}{\sqrt[4]{k+1} + \sqrt[4]{k}} = \frac{\sqrt[2]{k+1} - \sqrt[2]{k}}{\sqrt[4]{k+1} + \sqrt[4]{k}} = \frac{(\sqrt[2]{k+1} - \sqrt[2]{k})*(\sqrt[2]{k+1} + \sqrt[2]{k})}{(\sqrt[4]{k+1} + \sqrt[4]{k})*(\sqrt[2]{k+1} + \sqrt[2]{k})}[/mm],
Hallo,
Du erklärst hier gerade, wie man die Monotonie von [mm] b_k:=\sqrt[4]{k} [/mm] zeigen kann.
Gezeigt werden sollte aber die von [mm] a_k:=\sqrt[4]{k+1} [/mm] - [mm] \sqrt[4]{k}
[/mm]
Gruß v. Angela
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> nun nochmal 3. binomische Formel im Zähler und dann kann
> man die Monotonie ablesen, da der Nenner für wachsendes k
> immer größer wird.
>
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Angela,
> > [mm]\red{a_{k}} = \sqrt[4]{k+1} - \sqrt[4]{k} = \frac{(\sqrt[4]{k+1} - \sqrt[4]{k})*(\sqrt[4]{k+1} + \sqrt[4]{k})}{\sqrt[4]{k+1} + \sqrt[4]{k}} = \frac{\sqrt[2]{k+1} - \sqrt[2]{k}}{\sqrt[4]{k+1} + \sqrt[4]{k}} = \frac{(\sqrt[2]{k+1} - \sqrt[2]{k})*(\sqrt[2]{k+1} + \sqrt[2]{k})}{(\sqrt[4]{k+1} + \sqrt[4]{k})*(\sqrt[2]{k+1} + \sqrt[2]{k})}[/mm],
>
> Hallo,
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> Du erklärst hier gerade, wie man die Monotonie von
> [mm]b_k:=\sqrt[4]{k}[/mm] zeigen kann.
>
> Gezeigt werden sollte aber die von [mm]a_k:=\sqrt[4]{k+1}[/mm] -
> [mm]\sqrt[4]{k}[/mm]
Das wird durch obiges auch erfüllt.
Ich forme [mm] a_{k} [/mm] um und sehe am Ende, das [mm] a_{k} [/mm] monoton fallend ist, weil es sich in einen Bruch umschreiben lässt, der für größeres k immer kleiner wird.
Grüße,
Stefan
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