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| Aufgabe | | Gegeben sei die Zahlenfolge [mm] $a_n [/mm] = [mm] (\sqrt{n})^{\frac{1}{n}}$ [/mm] für $n [mm] \in \N$. [/mm] Zeigen Sie, dass es ein $N [mm] \in \N$ [/mm] gibt, so dass die Folge für $n [mm] \geq [/mm] N$ streng monoton fallend ist, daher [mm] $a_n>a_{n+1},\ [/mm] n [mm] \geq [/mm] N$ gilt. Geben Sie das kleinste derartige $N$ an. |
Hallo liebe Helfer,
ich frage mich, wie man obige Aufgabe mit beschränkten Mitteln (also zB keine Differenzialrechnung) lösen kann.
Egal, wie ich versuche [mm] $a_n
Vielen Dank für die Hilfe,
GaussDieMaus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 Sa 20.04.2019 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die Zahlenfolge [mm]a_n = (\sqrt{n})^{\frac{1}{n}}[/mm]
> für [mm]n \in \N[/mm]. Zeigen Sie, dass es ein [mm]N \in \N[/mm] gibt, so
> dass die Folge für [mm]n \geq N[/mm] streng monoton fallend ist,
> daher [mm]a_n>a_{n+1},\ n \geq N[/mm] gilt. Geben Sie das kleinste
> derartige [mm]N[/mm] an.
> Hallo liebe Helfer,
>
> ich frage mich, wie man obige Aufgabe mit beschränkten
> Mitteln (also zB keine Differenzialrechnung) lösen kann.
>
Das geht ganz elementar.
Aus der Ungleichung [mm] a_n> a_{n+1}
[/mm]
wird durch Äquivalenzumformungen ( quadrieren, hoch n und hoch (n+1) ) die Ungleichung
(*) n > [mm] (1+1/n)^n.
[/mm]
Die letzte Ungleichung ist zweifellos ab einem N richtig, denn die linke Seite wird beliebig groß und die rechte Seite bleibt kleiner als 3.
Wenn Du nun einige wenige Zahlen in (*) einsetzt, so solltest Du schnell sehen, wie das kleinste N ausschaut.
> Egal, wie ich versuche [mm]a_n
> nicht weiter.
> Vielen Dank für die Hilfe,
> GaussDieMaus
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> Internetseiten gestellt.
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