Monotonie bewerten < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
(a) [mm] f_{4}(x):=1-\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{4}}{24}-cos(x) [/mm] für [mm] x\in[0,\infty). [/mm] Zeigen Sie: [mm] f_{4} [/mm] ist monoton wachsend und [mm] f_{4}(x)\ge0 [/mm] für [mm] x\in[0,\infty).
[/mm]
(b) [mm] f_{5}(x):=x-\bruch{x^{3}}{6}+\bruch{x^{5}}{120}-sin(x) [/mm] für [mm] x\in[0,\infty). [/mm] Zeigen Sie: [mm] f_{5} [/mm] ist monoton wachsend und [mm] f_{5}(x)\ge0 [/mm] für [mm] x\in[0,\infty). [/mm] |
Ich weis nicht ob die Ansätze stimmen bzw. ob das zum beweisen ausreicht ...
zu (a):
monoton wachsend ?
[mm] f_{4}'(x)=-x+\bruch{1}{6}x^{3}+sin(x)\ge0
[/mm]
Dies ist ja aber nicht der fall, da wenn ich 1 einsetze eine negative Zahl rauskommt, also ist die Funktion nicht monoton wachsend ??
[mm] f_{4}(x)\ge0?
[/mm]
[mm] f_{4}(0):=1-\bruch{0^{2}}{2}+\bruch{0^{4}}{24}-cos(0)=0,00015
[/mm]
Das ist [mm] \ge0 [/mm] also stimmt die Aussage??
zu(b):
monoton wachsend ?
[mm] f_{5}'(x)=-\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{24}x^{4}-cos(x)\ge0
[/mm]
Dies ist ja aber nicht der fall, da wenn ich 1 einsetze eine negative Zahl rauskommt, also ist die Funktion nicht monoton wachsend ??
[mm] f_{5}(x)\ge0?
[/mm]
[mm] f_{5}(0):=-1
[/mm]
Das ist [mm] \le0 [/mm] also stimmt die Aussage nicht??
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 So 18.05.2014 | | Autor: | hippias |
> Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
>
> (a) [mm]f_{4}(x):=1-\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{4}}{24}-cos(x)[/mm]
> für [mm]x\in[0,\infty).[/mm] Zeigen Sie: [mm]f_{4}[/mm] ist monoton wachsend
> und [mm]f_{4}(x)\ge0[/mm] für [mm]x\in[0,\infty).[/mm]
>
> (b) [mm]f_{5}(x):=x-\bruch{x^{3}}{6}+\bruch{x^{5}}{120}-sin(x)[/mm]
> für [mm]x\in[0,\infty).[/mm] Zeigen Sie: [mm]f_{5}[/mm] ist monoton wachsend
> und [mm]f_{5}(x)\ge0[/mm] für [mm]x\in[0,\infty).[/mm]
> Ich weis nicht ob die Ansätze stimmen bzw. ob das zum
> beweisen ausreicht ...
>
> zu (a):
> monoton wachsend ?
> [mm]f_{4}'(x)=-x+\bruch{1}{6}x^{3}+sin(x)\ge0[/mm]
> Dies ist ja aber nicht der fall, da wenn ich 1 einsetze
> eine negative Zahl rauskommt, also ist die Funktion nicht
> monoton wachsend ??
>
> [mm]f_{4}(x)\ge0?[/mm]
>
> [mm]f_{4}(0):=1-\bruch{0^{2}}{2}+\bruch{0^{4}}{24}-cos(0)=0,00015[/mm]
> Das ist [mm]\ge0[/mm] also stimmt die Aussage??
Man sollte wissen, dass [mm] $\cos(0)=1$ [/mm] ist, und demnach [mm] $f_{4}(0)= [/mm] 0$ ist. Im uebrigen vermute ich, dass Du deinen Taschenrechner vermutlich nicht im Modus "Bogenmass" benutzt hast.
Zum Nachweis einer Allaussage (etwa: fuer alle [mm] $x\geq [/mm] 0$ gilt [mm] $f(x)\geq [/mm] 0$) musst Du auch alle $x$ untersuchen und nicht nur nach gutduenken einen Wert in die Funktion einsetzen. Jedoch wiederlegt ein Gegenbeispiel eine Allaussage.
>
> zu(b):
> monoton wachsend ?
>
> [mm]f_{5}'(x)=-\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{24}x^{4}-cos(x)\ge0[/mm]
> Dies ist ja aber nicht der fall, da wenn ich 1 einsetze
> eine negative Zahl rauskommt, also ist die Funktion nicht
> monoton wachsend ??
>
> [mm]f_{5}(x)\ge0?[/mm]
> [mm]f_{5}(0):=-1[/mm]
> Das ist [mm]\le0[/mm] also stimmt die Aussage nicht??
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 So 18.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo hippias,
> Zum Nachweis einer Allaussage (etwa: fuer alle [mm]x\geq 0[/mm] gilt
> [mm]f(x)\geq 0[/mm]) musst Du auch alle [mm]x[/mm] untersuchen und nicht nur
> nach gutduenken einen Wert in die Funktion einsetzen.
Das ist hier wegen der Monotonie möglich. Es wird natürlich
nicht ein beliebiger x-Wert eingesetzt. 
Falls du das genauer haben willst, dann sag ruhig bescheid.
Liebe Grüße
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 So 18.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Kruemel,
> Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
>
> (a) [mm]f_{4}(x):=1-\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{4}}{24}-cos(x)[/mm]
> für [mm]x\in[0,\infty).[/mm] Zeigen Sie: [mm]f_{4}[/mm] ist monoton wachsend
> und [mm]f_{4}(x)\ge0[/mm] für [mm]x\in[0,\infty).[/mm]
>
> (b) [mm]f_{5}(x):=x-\bruch{x^{3}}{6}+\bruch{x^{5}}{120}-sin(x)[/mm]
> für [mm]x\in[0,\infty).[/mm] Zeigen Sie: [mm]f_{5}[/mm] ist monoton wachsend
> und [mm]f_{5}(x)\ge0[/mm] für [mm]x\in[0,\infty).[/mm]
> Ich weis nicht ob die Ansätze stimmen bzw. ob das zum
> beweisen ausreicht ...
> zu (a):
> monoton wachsend ?
> [mm]f_{4}'(x)=-x+\bruch{1}{6}x^{3}+sin(x)\ge0[/mm]
> Dies ist ja aber nicht der fall, da wenn ich 1 einsetze
> eine negative Zahl rauskommt also ist die Funktion nicht monoton wachsend ??
Nein. Es gilt:
[mm] $f_4'(1)>0$.
[/mm]
Versuche erneut die Monotonie zu zeigen.
Tipp: Reihendarstellung.
> [mm]f_{4}(x)\ge0?[/mm]
>
> [mm]f_{4}(0):=1-\bruch{0^{2}}{2}+\bruch{0^{4}}{24}-cos(0)=0,00015[/mm]
Der Doppelpunkt vor dem Gleichheitszeichen macht keinen
Sinn. Es gilt:
[mm] $\cos(0)=1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow f_4(0)=0$.
[/mm]
> Das ist [mm]\ge0[/mm] also stimmt die Aussage??
Ja, aber das musst du genauer erläutern. Die stetige Funktion
[mm] f_{4}(x):=1-\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{4}}{24}-\cos(x)
[/mm]
ist auf
[mm] $I:=[0,\infty)$
[/mm]
monoton wachsend, sodass wegen
[mm] $f_{4}(0)=0\ge [/mm] 0$
folgt
[mm] $f_4(x)\ge [/mm] 0$ für alle [mm] $x\in [/mm] I$
und damit die Behauptung.
> zu(b):
> monoton wachsend ?
>
> [mm]f_{5}'(x)=-\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{24}x^{4}-cos(x)\ge0[/mm]
Nein. Es gilt:
[mm] f_{5}(x):=x-\bruch{x^{3}}{6}+\bruch{x^{5}}{120}-\sin(x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow f_5'(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cos(x).
[/mm]
> Dies ist ja aber nicht der fall, da wenn ich 1 einsetze
> eine negative Zahl rauskommt, also ist die Funktion nicht
> monoton wachsend ??
Nein. Es gilt:
[mm] $f_{5}(1)>0$.
[/mm]
> [mm]f_{5}(x)\ge0?[/mm]
> [mm]f_{5}(0):=-1[/mm]
> Das ist [mm]\le0[/mm] also stimmt die Aussage nicht??
Siehe oben.
Gruß
DieAcht
|
|
|
|
