Monotonie Grenzwerte Folgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 So 19.10.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | 1. Treffen Sie Aussagen zur Monotonie der Zahlenfolge [mm] a_n [/mm] = [mm] n^2 [/mm] -4n -9
2. Berechen Sie den Grenzwert der Zahlenfolge
2a. [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{6n^2 +5n +4}{3n^2 -5n -4} [/mm] + [mm] \bruch{4n}{3n^2 -5n +4}
[/mm]
2b. [mm] b_n [/mm] = [mm] e^{sin \bruch{4\pi*n^2 -\pi*n +3}{2n^2 -7}} [/mm] |
Moin,
Aufgabe 2
Hier klammere ich immer die höchste Potenz aus und bilde den Grenzwert...
2a.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{n^2* (6 +\bruch{5}{n} +\bruch{4}{n^2})}{n^2*(3 -\bruch{5}{n} -\bruch{4}{n^2})} [/mm] + [mm] \bruch{n^2*(\bruch{4}{n})}{n^2*(3 -\bruch{5}{n} +\bruch{4}{n^2})}
[/mm]
= 2 + [mm] \bruch{0}{3}
[/mm]
2b.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{n^2*(4\pi -\bruch{\pi}{n} +\bruch{3}{n^2})}{n^2*(2 -\bruch{7}{n^2})}
[/mm]
= [mm] 2\pi
[/mm]
=>
[mm] e^{sin 2\pi} [/mm] = [mm] e^0 [/mm] = 1
Stimmt das soweit?
Wie muss ich bei Aufgabe 1 vorgehen?
Danek & Gruß
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Hallo Wolfgang,
> 1. Treffen Sie Aussagen zur Monotonie der Zahlenfolge [mm]a_n[/mm] =
> [mm]n^2[/mm] -4n -9
>
> 2. Berechen Sie den Grenzwert der Zahlenfolge
>
> 2a. [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{6n^2 +5n +4}{3n^2 -5n -4}[/mm] + [mm]\bruch{4n}{3n^2 -5n +4}[/mm]
>
> 2b. [mm]b_n[/mm] = [mm]e^{sin \bruch{4\pi*n^2 -\pi*n +3}{2n^2 -7}}[/mm]
> Moin,
>
> Aufgabe 2
> Hier klammere ich immer die höchste Potenz aus und bilde
> den Grenzwert...
>
>
> 2a.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = [mm]\bruch{n^2* (6 +\bruch{5}{n} +\bruch{4}{n^2})}{n^2*(3 -\bruch{5}{n} -\bruch{4}{n^2})}[/mm] + [mm]\bruch{n^2*(\bruch{4}{n})}{n^2*(3 -\bruch{5}{n} +\bruch{4}{n^2})}[/mm]
>
> = 2 + [mm]\bruch{0}{3}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2b.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = [mm]\bruch{n^2*(4\pi -\bruch{\pi}{n} +\bruch{3}{n^2})}{n^2*(2 -\bruch{7}{n^2})}[/mm]
>
> = [mm]2\pi[/mm]
>
> =>
>
> [mm]e^{sin 2\pi}[/mm] = [mm]e^0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 1
>
>
> Stimmt das soweit?
Ja, seht gut soweit!
>
> Wie muss ich bei Aufgabe 1 vorgehen?
Du kannst schauen, ob $\frac{a_{n+1}}{a_n}>1\Rightarrow a_n$ (streng) monoton steigend oder $<1\Rightarrow a_n$ (streng) monoton fallend ist, bzw. gleichbedeutend $a_{n+1}>a_n$ bzw. $a_{n+1}<a_n$, also $a_{n+1}-a_n>0$ oder $a_{n+1}-a_n}<0$
Ich würde den letzteren Ansatz empfehlen, schaue dir also mal $a_{n+1}-a_n$ an und schaue, ob das > oder < 0 ist
>
> Danek & Gruß
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 So 19.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Wolfgang!
Forme hier mal um wie folgt:
[mm] $$a_n [/mm] \ = \ [mm] n^2-4n-9 [/mm] \ = \ [mm] n^2-4n+4-13 [/mm] \ = \ [mm] (n-2)^2-13$$
[/mm]
Bei dem Graph einer analogen Funktion $f(x) \ = \ [mm] (x-2)^2-13$ [/mm] handelt es sich um eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt $S \ [mm] \left( \ 2 \ | \ -13 \ \right)$ [/mm] .
Und bei einer derartigen Parabel ist die Funktion rechtsseitig des Scheitelpunktes streng monoton wachsend.
Gruß
Loddar
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