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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi,
Ich hab mal wieder eine Klausuraufgabe die ich nicht ganz lösen kann. Die Aufgabe lautet:
Die Funktion f sei auf $[0, \infty)$ wie folgt definiert:
$$f(x)={{1}\over{\left({{1}\over{\sqrt{x}}}+2\right)^2}}$$ für x>0 und f(0)=0
a) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f.
b) Ist f beschränkt und stetig?
c) Geben Sie, falls vorhanden, globale Minima und Maxima von f an.
d) Berechnen Sie $f''(9)$
Das hab ich bisher:
a)
$x_1=1$
$x_2=4$
$f(x_1)=\bruch{1}{9}$
$f(x_2)=\bruch{4}{25}$
$f(x_1)<f(x_2) \RightArrow$ streng monoton wachsend
b)
$$ \limes_{x\rightarrow\infty} {{1}\over{\left({{1}\over{\sqrt{x}}}+2\right)^2}}=\bruch{1}{4}$$
$\Rightarrow$ Funktion ist stetig
(zumindest vermute ich das mal. Der geplotete Kurvenverlauf sagt das eigentlich auch aus. Jedoch hab ich das noch nicht ganz verstanden. Es heißt die Funktion ist stetig, wenn der Lim mit dem Funktionswert übereinstimmt. Wann bedeutet das genau? Wann wäre das nicht so?)
Die Beschränktheit kann man auch am Kurvenverlauf ersehen. Die Schranke liegt bei \bruch{1}{4}. Ist als eine Kurve beschränkt sobald der Lim einen Wert $\not= \pm \infty$ annimmt?
c)
Aufgrund des Kurvenverlauf nehme ich an es gibt keine (globalen) Minima oder Maxima. Aber wie berechne ich das? Ich hab versucht die erste Ableitung 0 zu setzen und dann zu schauen was passiert. Aber irgendwie brachte das nix.
d)
Die erste Ableitung hab ich ja schon von der c gehabt. Sollte richtig sein. Maxima bestätigt mir das auch:
$f'(x)=\bruch{1+2*\sqrt{x}}{{(1+4x+4*\sqrt{x})^2}$
Aber mit der zweiten Ableitung hab ich so meine Probleme. Ich hab es mit der Quotientenregel probiert, aber bekomme riesige Brüche die irgendwie schwer zu vereinfachen sind. Maxima gibt mit auch einen Horrormässigen Bruch aus. Irgendwie kann ich das nicht glauben. Die Aufgabe muss ja in max. 15 min. zu schaffen sein. Vielleicht einfach nur eine schaue Umformung vor dem Ableiten? Hat jemand eine Idee?
Gruß
Andreas
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Hallo Andreas!
> Die Funktion f sei auf [mm][0, \infty)[/mm] wie folgt definiert:
>
> [mm]f(x)={{1}\over{\left({{1}\over{\sqrt{x}}}+2\right)^2}}[/mm] für
> x>0 und f(0)=0
>
> a) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f.
> b) Ist f beschränkt und stetig?
> c) Geben Sie, falls vorhanden, globale Minima und Maxima
> von f an.
> d) Berechnen Sie [mm]f''(9)[/mm]
>
> Das hab ich bisher:
>
> a)
> [mm]x_1=1[/mm]
> [mm]x_2=4[/mm]
> [mm]f(x_1)=\bruch{1}{9}[/mm]
> [mm]f(x_2)=\bruch{4}{25}[/mm]
> [mm]f(x_1)
Was soll das sein? Entweder hab ich jetzt ein Brett vorm Kopf oder du hast da was falsch gemacht.1 ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") Es muss zwar gelten [mm] f(x_1)
Wenn ich mich nicht irre, dann gilt bei einer monoton steigenden Funktion, dass die Ableitung [mm] \ge [/mm] 0 ist (überall) und bei einer monoton fallenden Funktion [mm] \le [/mm] 0 für die Ableitung. Probier's doch mal damit. 
> b)
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} {{1}\over{\left({{1}\over{\sqrt{x}}}+2\right)^2}}=\bruch{1}{4}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Funktion ist stetig
> (zumindest vermute ich das mal. Der geplotete Kurvenverlauf
> sagt das eigentlich auch aus. Jedoch hab ich das noch nicht
> ganz verstanden. Es heißt die Funktion ist stetig, wenn der
> Lim mit dem Funktionswert übereinstimmt. Wann bedeutet das
> genau? Wann wäre das nicht so?)
Nimm z. B. die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{x}. [/mm] Der Funktionswert an der Stelle = ist nicht definiert, denn dann würde man durch 0 teilen, was nicht erlaubt ist. Wir können aber den Grenzwert für [mm] x\to [/mm] 0 berechnen. Der wäre aber je nachdem, ob wir von den positiven Zahlen oder von den negativen Zahlen kommen entweder [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty.
[/mm]
Mmh - vielleicht ist das doch nicht so ein gutes Beispiel... ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Und bei dem Rest kann ich dir im Moment leider auch nicht so ganz weiterhelfen...
Aber vielleicht hat's ja trotzdem ein bisschen geholfen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
> Die Beschränktheit kann man auch am Kurvenverlauf ersehen.
> Die Schranke liegt bei [mm]\bruch{1}{4}.[/mm] Ist als eine Kurve
> beschränkt sobald der Lim einen Wert [mm]\not= \pm \infty[/mm]
> annimmt?
>
> c)
> Aufgrund des Kurvenverlauf nehme ich an es gibt keine
> (globalen) Minima oder Maxima. Aber wie berechne ich das?
> Ich hab versucht die erste Ableitung 0 zu setzen und dann
> zu schauen was passiert. Aber irgendwie brachte das nix.
>
> d)
> Die erste Ableitung hab ich ja schon von der c gehabt.
> Sollte richtig sein. Maxima bestätigt mir das auch:
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1+2*\sqrt{x}}{{(1+4x+4*\sqrt{x})^2}[/mm]
>
> Aber mit der zweiten Ableitung hab ich so meine Probleme.
> Ich hab es mit der Quotientenregel probiert, aber bekomme
> riesige Brüche die irgendwie schwer zu vereinfachen sind.
> Maxima gibt mit auch einen Horrormässigen Bruch aus.
> Irgendwie kann ich das nicht glauben. Die Aufgabe muss ja
> in max. 15 min. zu schaffen sein. Vielleicht einfach nur
> eine schaue Umformung vor dem Ableiten? Hat jemand eine
> Idee?
>
> Gruß
> Andreas
>
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> [mm]f'(x)=\bruch{1+2*\sqrt{x}}{{(1+4x+4*\sqrt{x})^2}[/mm]
>
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Diese Ableitung ist richtig, kann jedoch noch kräftig
> vereinfacht werden:
>
> [mm]f'(x) \ = \ \bruch{1+2*\wurzel{x}}{\left(1+4x+4*\wurzel{x}\right)^2}[/mm]
>
> [mm]f'(x) \ = \ \bruch{1+2*\wurzel{x}}{\left[\left(1+2*\wurzel{x}\right)^2\right]^2}[/mm]
>
> [mm]f'(x) \ = \ \bruch{1+2*\wurzel{x}}{\left(1+2*\wurzel{x}\right)^4}[/mm]
>
> [mm]f'(x) \ = \ \bruch{1}{\left(1+2*\wurzel{x}\right)^3}[/mm]
>
> [mm]f'(x) \ = \ \left(1+2*\wurzel{x}\right)^{-3}[/mm]
>
>
> Kommst Du nun weiter mit der 2. Ableitung?
Ich denke schon.
[mm] $f''(x)=-\bruch{3}{\wurzel{x}*(1+2*\wurzel{x})^4}$
[/mm]
[mm] $f''(9)=-\bruch{3}{7203}=-4.164*10^{-4}$
[/mm]
Das bestätigt mir dann auch Maxima. Allerdings scheint Maxima mit dieser Ableitung so seine Schwierigkeiten zu haben. Muss ich mal auf der Mailingliste nachfragen woran das hängt...
Danke
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Do 07.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
> Ich denke schon.
>
> [mm]f''(x)=-\bruch{3}{\wurzel{x}*(1+2*\wurzel{x})^4}[/mm]
> [mm]f''(9)=-\bruch{3}{7203}=-4.164*10^{-4}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Hier kann man aber noch kürzen, und bitte beim Runden aufpassen:
$f''(9) \ = \ - [mm] \bruch{1}{2401} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ [mm] -4,16\red{5} [/mm] * [mm] 10^{-4}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Do 07.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
Mit der neuen Darstellung der 1. Ableitung sollte es nun auch kein großes Problem mehr sein, die Monotonie nachzuweisen (siehe auch Bastiane's Antwort), oder?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Do 07.04.2005 | | Autor: | Max |
> b) Ist f beschränkt und stetig?
> b)
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} {{1}\over{\left({{1}\over{\sqrt{x}}}+2\right)^2}}=\bruch{1}{4}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Funktion ist stetig
> (zumindest vermute ich das mal. Der geplotete Kurvenverlauf
> sagt das eigentlich auch aus. Jedoch hab ich das noch nicht
> ganz verstanden. Es heißt die Funktion ist stetig, wenn der
> Lim mit dem Funktionswert übereinstimmt. Wann bedeutet das
> genau? Wann wäre das nicht so?)
>
> Die Beschränktheit kann man auch am Kurvenverlauf ersehen.
> Die Schranke liegt bei [mm]\bruch{1}{4}.[/mm] Ist als eine Kurve
> beschränkt sobald der Lim einen Wert [mm]\not= \pm \infty[/mm]
> annimmt?
Also zur Steigkeit kann man ja sagen, dass $f$ für alle [mm] $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ [/mm] stetig ist, da dort die Funktion durch Verknüpfung stetiger Funktionen entsteht. Einzig die Stelle $x=0$ ist zu überprüfen, da aber (nach Loddars vorgeschlagener Umformung):
[mm] $\lim_{x \to 0}f(x)=\lim_{x \to 0} \frac{x}{\left(1+2\sqrt{x}\right)^2} [/mm] = [mm] \frac{0}{(1+2\cdot 0)^2}=0$ [/mm] ist $f$ auch bei $x=0$ stetig.
(Das aus aus [mm] $|\lim_{x \to \infty}f(x)|
Wenn du doch überzeugt bist, dass [mm] $\frac{1}{4}$ [/mm] obere Schranke ist, dann zeig doch einfach, dass die Gleichung [mm] $\frac{x}{\left(1+2\sqrt{x}\right)^2}\le \frac{1}{4}$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] erfüllt ist! 
Gruß Brackhaus
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Sorry, das ich so spät antworte. Hatte am Wochenende leider keine Zeit.
> Also zur Steigkeit kann man ja sagen, dass [mm]f[/mm] für alle
> [mm]x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}[/mm] stetig ist, da dort die
> Funktion durch Verknüpfung stetiger Funktionen entsteht.
> Einzig die Stelle [mm]x=0[/mm] ist zu überprüfen, da aber (nach
> Loddars vorgeschlagener Umformung):
>
> [mm]\lim_{x \to 0}f(x)=\lim_{x \to 0} \frac{x}{\left(1+2\sqrt{x}\right)^2} = \frac{0}{(1+2\cdot 0)^2}=0[/mm]
> ist [mm]f[/mm] auch bei [mm]x=0[/mm] stetig.
Ok, die Stetigkeit wird mir so klar.
> (Das aus aus [mm]|\lim_{x \to \infty}f(x)|
> Beschränktheit der Funktion zeigt, hat ja Basitane mit
> ihrem Gegenbeispiel gezeigt.)
Hm, was heißt das für diese Aufgabe? Die Funktion ist wohl nicht nach oben beschränkt, weil sie, wie du schon gesagt hast, durch Verknüpfung stetiger Funktionen entsteht. Folgt dann noch daraus, dass [mm] $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\left(1+2\sqrt{x}\right)^2} [/mm] =0$ ist, dass sie nach unten beschränkt ist?
Auf die c) mit den globalen Minima und Maxima hat bisher noch keiner geantwortet. Ich würde mal sagen, wenn eine Funktion stetig ist, kann es keine Minima und Maxima geben. Ist das wirklich so?
Gruß
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Mo 11.04.2005 | | Autor: | Fugre |
Hallo Andreas!
> Sorry, das ich so spät antworte. Hatte am Wochenende leider
> keine Zeit.
>
> > Also zur Steigkeit kann man ja sagen, dass [mm]f[/mm] für alle
> > [mm]x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}[/mm] stetig ist, da dort die
> > Funktion durch Verknüpfung stetiger Funktionen entsteht.
> > Einzig die Stelle [mm]x=0[/mm] ist zu überprüfen, da aber (nach
> > Loddars vorgeschlagener Umformung):
> >
> > [mm]\lim_{x \to 0}f(x)=\lim_{x \to 0} \frac{x}{\left(1+2\sqrt{x}\right)^2} = \frac{0}{(1+2\cdot 0)^2}=0[/mm]
> > ist [mm]f[/mm] auch bei [mm]x=0[/mm] stetig.
>
> Ok, die Stetigkeit wird mir so klar.
>
> > (Das aus aus [mm]|\lim_{x \to \infty}f(x)|
> > Beschränktheit der Funktion zeigt, hat ja Basitane mit
> > ihrem Gegenbeispiel gezeigt.)
>
> Hm, was heißt das für diese Aufgabe? Die Funktion ist wohl
> nicht nach oben beschränkt, weil sie, wie du schon gesagt
> hast, durch Verknüpfung stetiger Funktionen entsteht. Folgt
> dann noch daraus, dass [mm]\lim_{x \to 0} \frac{x}{\left(1+2\sqrt{x}\right)^2} =0[/mm]
> ist, dass sie nach unten beschränkt ist?
Genau, deine Funktion ist nach oben und unten beschränkt. Es gibt nämlich kein $x$ für das
der Funktionswert $<0$ ist, somit ist die untere Grenze 0 für $x$ gegen [mm] $\infty$.
[/mm]
>
> Auf die c) mit den globalen Minima und Maxima hat bisher
> noch keiner geantwortet. Ich würde mal sagen, wenn eine
> Funktion stetig ist, kann es keine Minima und Maxima geben.
> Ist das wirklich so?
Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist eine Nullstelle der 1. Ableitung und die
hat keine. Deshalb kann es ja keine Extrempunkte geben, extremal wird die Funktion am Rande
des Definitionsbereiches.
>
> Gruß
> Andreas
>
>
Liebe Grüße
Fugre
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:40 Mo 11.04.2005 | | Autor: | andreas99 |
> > > (Das aus aus [mm]|\lim_{x \to \infty}f(x)|
> > > Beschränktheit der Funktion zeigt, hat ja Basitane mit
> > > ihrem Gegenbeispiel gezeigt.)
> >
> > Hm, was heißt das für diese Aufgabe? Die Funktion ist wohl
> > nicht nach oben beschränkt, weil sie, wie du schon gesagt
> > hast, durch Verknüpfung stetiger Funktionen entsteht. Folgt
> > dann noch daraus, dass [mm]\lim_{x \to 0} \frac{x}{\left(1+2\sqrt{x}\right)^2} =0[/mm]
> > ist, dass sie nach unten beschränkt ist?
> Genau, deine Funktion ist nach oben und unten beschränkt.
> Es gibt nämlich kein [mm]x[/mm] für das
> der Funktionswert [mm]<0[/mm] ist, somit ist die untere Grenze 0
> für [mm]x[/mm] gegen [mm]\infty[/mm].
Also jetzt bin ich total verwirrt. Heißt eine Funktion jetzt (nach oben) beschränkt, wenn sie einen (oberen) maximalen Wert hat oder wenn sie ins Unendliche wächst? Ich hab ja oben geschrieben das sie nicht nach oben beschränkt ist. Um jetzt verwirrungen zu meiden, wie ist es richtig?
Oder bringe ich da jetzt Begriffe durcheinander? Wie steht die Eigenschaft "beschränkt" mit dem Grenzwert (Limes) in zusammenhang?
Gruß
Andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Mo 11.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
Hilft Dir meine Antwort etwas weiter?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Mo 11.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
> Hm, was heißt das für diese Aufgabe? Die Funktion ist wohl
> nicht nach oben beschränkt, weil sie, wie du schon gesagt
> hast, durch Verknüpfung stetiger Funktionen entsteht. Folgt
> dann noch daraus, dass [mm]\lim_{x \to 0} \frac{x}{\left(1+2\sqrt{x}\right)^2} =0[/mm]
> ist, dass sie nach unten beschränkt ist?
Daß Deine Funktion nach oben und unten beschränkt ist, hat Fugre ja bereits erwähnt.
Du mußt also nunmehr (durch Umformungen) zeigen, daß gilt:
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x}{\left(1 + 2\wurzel{x} \ \right)^2} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{1}{4}$
[/mm]
sowie
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x}{\left(1 + 2\wurzel{x} \ \right)^2} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$
Dabei ist [mm] $\bruch{1}{4}$ [/mm] die obere Schranke und $0$ die untere Schranke.
Der Hinweis von Bastiane ging lediglich dahin, daß aus dem Grenzwert für $x [mm] \rightarrow \pm \infty$ [/mm] kein Rückschluß auf die Beschränktheit gezogen werden kann.
> Auf die c) mit den globalen Minima und Maxima hat bisher
> noch keiner geantwortet.
Doch - gerade eben durch Fugre ...
> Ich würde mal sagen, wenn eine Funktion stetig ist, kann es
> keine Minima und Maxima geben.
> Ist das wirklich so?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") NEIN !!
Aus der Stetigkeit kann kein Rückschluß auf die Existenz von Extrema gezogen werden.
Gegenbeispiele:
[mm] $f_1(x) [/mm] \ = \ x$ ist überall stetig, es gibt aber keine Extrema!
[mm] $f_2(x) [/mm] \ = \ [mm] x^2$ [/mm] ist überall stetig, es gibt aber ein Extremum (= Minimum)!
Ist das nun ein wenig klarer?
Gruß
Loddar
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Quotientenregel