Monotonie Beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Do 04.11.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die Folgen monoton und/oder beschränkt sind. Geben Sie gegebenenfalls obere und/oder untere Schranken an. (Beweisen Sie Ihre Aussagen!)
(1) [mm](a_n) = n^2 - \bruch{1}{2} [/mm] |
Ich vermute mal, dass die Folge streng monotonwachsend ist, d.h.
[mm]a_{n+1} \ge a_n \forall n \in \IN [/mm]
das schreit doch denk ich mal nach Induktion, gell??
Irgendwie kommt mir das aber zu zerstückelt vor...
IA: [mm] n=1[/mm]: [mm] (a_1 ) = 1^2 -\bruch{1}{2} \le 2^2 - \bruch{1}{2} =(a_2) [/mm] stimmt
IV: es gelte [mm](a_{n+1}) \ge (a_n) \forall n \in \IN [/mm]
IS: zu zeigen: [mm](a_{n+2}) \ge (a_{n+1}) \forall n \in \IN [/mm]
[mm](a_{n+2}) = (n+2)^2-\bruch{1}{2} = n^2+4n+4-\bruch{1}{2}
=n^2+2n+1-\bruch{1}{2}+(2n+3) =(a_{n+1})+2n+3[/mm]
[mm](a_{n+1}) = (n+1)^2-\bruch{1}{2} = n^2+2n+1-\bruch{1}{2}
=n^2-\bruch{1}{2}+(2n+1) =(a_n)+2n+1[/mm]
Dann die IV verwenden, dann folgt die Behauptung, weil [mm]n \in \IN [/mm].
Korrekt?
Ach ja: es gilt echt größer und damit streng monoton wachsend
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Guten Abend,
> Untersuchen Sie, ob die Folgen monoton und/oder beschränkt
> sind. Geben Sie gegebenenfalls obere und/oder untere
> Schranken an. (Beweisen Sie Ihre Aussagen!)
>
> (1) [mm](a_n) = n^2 - \bruch{1}{2}[/mm]
>
> Ich vermute mal, dass die Folge streng monotonwachsend ist,
> d.h.
> [mm]a_{n+1} \ge a_n \forall n \in \IN[/mm]
>
> das schreit doch denk ich mal nach Induktion, gell??
> Irgendwie kommt mir das aber zu zerstückelt vor...
>
> IA: [mm]n=1[/mm]: [mm](a_1 ) = 1^2 -\bruch{1}{2} \le 2^2 - \bruch{1}{2} =(a_2)[/mm]
> stimmt
>
> IV: es gelte [mm](a_{n+1}) \ge (a_n) \forall n \in \IN[/mm]
>
>
> IS: zu zeigen: [mm](a_{n+2}) \ge (a_{n+1}) \forall n \in \IN[/mm]
>
> [mm](a_{n+2}) = (n+2)^2-\bruch{1}{2} = n^2+4n+4-\bruch{1}{2} =n^2+2n+1-\bruch{1}{2}+(2n+3) =(a_{n+1})+2n+3[/mm]
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> [mm](a_{n+1}) = (n+1)^2-\bruch{1}{2} = n^2+2n+1-\bruch{1}{2} =n^2-\bruch{1}{2}+(2n+1) =(a_n)+2n+1[/mm]
>
> Dann die IV verwenden, dann folgt die Behauptung, weil [mm]n \in \IN [/mm].
>
> Korrekt?
Also ich verstehe nicht warum du den Schritt von n+1 zu n+2 UND n zu n+1 machst, und außerdem, das was du machst ist ein direkter Beweis! Du zeigst ja, dass [mm]a_{n+1}>a_n[/mm], für alle n. Damit ist ja auch [mm]a_n > a_{n-1}[/mm] und so weiter...
Eine Induktion ist in meinen Augen da nicht nötig...
Eine Induktion wäre nötig, wenn z.B.
[mm]a_0=2[/mm] und [mm]a_n=a_{n-1}^2 - \bruch{1}{2}[/mm]
>
> Ach ja: es gilt echt größer und damit streng monoton
> wachsend
Ich hoffe ich konnte helfen!
lg Kai
p.s. Also eine untere Schranke kann ich aber trotzdem problemlos angeben, und danach ist ja schließlich gefragt! Und damit muss die Folge ja auch nach unten beschränkt sein!
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