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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Mi 15.02.2012 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass die gebrochen-rationale Funktion [mm] g:\IR\setminus\{0\}\to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \bruch{x^2-4}{x} [/mm] streng monoton steigend ist. |
Hallo,
bei der Aufgabe soll die Ableitung der Funktion g nicht benutzt werden.
Also hab ich mal so angefangen: Fall1: Seien x>y>0 mit x,y [mm] \in \IR [/mm] beliebig. Zu zeigen: g(x)-g(y)>0, also [mm] \bruch{x^2-4}{x}-\bruch{y^2-4}{y} [/mm] >0 . Indem ich die Brüche nun auf den Hauptnenner xy gebracht habe, kam ich leider nicht weiter. Die Frage ist also wie ich hier durch abschätzen geschickt weiter machen kann? Ich sehe sofort dass im Zähler die 3. binomische Formel steckt, also [mm] x^2-4 [/mm] = (x+2)*(x-2), doch hilft das?
Danach wirds wohl ziemlich analog für Fall2: y<x<0 mit x,y [mm] \in \IR [/mm] beliebig funktionieren.
Danke schonmal im voraus für jede Hilfe.
Viele Grüße
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moin,
Schreib dir mal [mm] $\frac{x^2 - 4}{x} [/mm] = x - [mm] \frac{4}{x}$.
[/mm]
Wenn du das selbe für $y$ machst und ein wenig rumsortierst dürftest du die Aussage gezeigt kriegen.
lg
Schadow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Mi 15.02.2012 | | Autor: | Stoecki |
ich denke nicht, dass die aussage richtig ist. setze mal x=- [mm] \frac{1}{10} [/mm] und y = [mm] \frac{1}{10} [/mm] ein
es gilt
f(x) =- [mm] \frac{1}{10} [/mm] + 40 > [mm] \frac{1}{10} [/mm] - 40 = f(y)
gruß bernhard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Mi 15.02.2012 | | Autor: | ms2008de |
> ich denke nicht, dass die aussage richtig ist. setze mal
> x=- [mm]\frac{1}{10}[/mm] und y = [mm]\frac{1}{10}[/mm] ein
>
> es gilt
> f(x) =- [mm]\frac{1}{10}[/mm] + 40 > [mm]\frac{1}{10}[/mm] - 40 = f(y)
>
> gruß bernhard
Es geht wohl darum, dass die Funktion ober- und unterhalb der Polstelle x=0 streng monoton steigend ist, nicht darum dass ein Funktionswert links der Polstelle größer als ein Funktionswert rechts von der Polstelle sein kann.
Ansonsten gäbs wohl keine gebrochenrationale Fkt. mit einer Polstelle , die streng monoton ist...
Danke trotzdem nochmal für die Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Mi 15.02.2012 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie, dass die gebrochen-rationale Funktion
> [mm]g:\IR\setminus\{0\}\to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto \bruch{x^2-4}{x}[/mm]
> streng monoton steigend ist.
> Hallo,
> bei der Aufgabe soll die Ableitung der Funktion g nicht
> benutzt werden.
> Also hab ich mal so angefangen: Fall1: Seien x>y>0 mit x,y
> [mm]\in \IR[/mm] beliebig. Zu zeigen: g(x)-g(y)>0, also
> [mm]\bruch{x^2-4}{x}-\bruch{y^2-4}{y}[/mm] >0 . Indem ich die
> Brüche nun auf den Hauptnenner xy gebracht habe, kam ich
> leider nicht weiter. Die Frage ist also wie ich hier durch
> abschätzen geschickt weiter machen kann? Ich sehe sofort
> dass im Zähler die 3. binomische Formel steckt, also [mm]x^2-4[/mm]
> = (x+2)*(x-2), doch hilft das?
> Danach wirds wohl ziemlich analog für Fall2: y<x<0 mit="" <br="">> x,y [mm]\in \IR[/mm] beliebig funktionieren.
>
> Danke schonmal im voraus für jede Hilfe.
>
> Viele Grüße
Hallo,
wenn bekannt ist, dass sowohl y=x als auch y=-4/x streng monoton wachsend sind, dann ist es die Summe der beiden Funktionen ebenfalls.
Gruß Abakus
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