Monotonie < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 So 24.01.2010 | | Autor: | etoxxl |
| Aufgabe | f(x) = [mm] x^4 [/mm] sin² [mm] (\bruch{1}{x})
[/mm]
Zeige f hat ein lokales Minimum an der Stelle 0, aber für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ist f im Intervall [mm] ]0,\varepsilon[ [/mm] nicht monoton wachsend. |
Zeige f hat lokales Minimum in 0:
f'(0) = [mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{f(x) - f(0)}{x-0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{x^4 sin² (\bruch{1}{x})}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow0} x^3 [/mm] sin² [mm] (\bruch{1}{x}) [/mm] = 0 da [mm] x^3 [/mm] gegen Null geht und sin beschränkt ist.
[mm] \limes_{x\rightarrow0+} \bruch{x^4 sin² (\bruch{1}{x})}{x} [/mm] > 0
[mm] \limes_{x\rightarrow0-} \bruch{x^4 sin² (\bruch{1}{x})}{x} [/mm] < 0
->f hat in 0 Lokales Minimum
Nun ist zu zeigen, dass f für jedes [mm] \varepsilon [/mm] im Intervall I = [mm] ]0,\varepsilon[ [/mm] nicht monoton wachsend ist.
Sei [mm] x_1, x_2 \in [/mm] I mit [mm] 0
Annahme: f ist monoton steigend: Dann gilt [mm] f(x_1) \le f(x_2) [/mm] :
[mm] f(x_1)= x_1^{4} [/mm] sin² [mm] (\bruch{1}{x_1}) \le x_2^{4} [/mm] sin² [mm] (\bruch{1}{x_2}) [/mm] = [mm] f(x_2)
[/mm]
(=) [mm] \bruch{x_1^{4}}{x_2^{4}} \le \bruch{sin² (\bruch{1}{x_2}) }{sin² (\bruch{1}{x_1}) }
[/mm]
Linke Seite der Ungleichung ist für alle [mm] x_1, x_2 [/mm] kleiner als 1
und die rechte ist manchmal größer 1, da z.B im Intervall [mm] ]\pi [/mm] / 2, [mm] \pi[
[/mm]
sin² [mm] (\bruch{1}{x_2}) [/mm] > sin² [mm] (\bruch{1}{x_1}) [/mm]
Also folgt Widerspruch zur Annahme und f ist nicht monoton wachsend in I.
Ist die Argumentation ok?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 So 24.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> f(x) = [mm]x^4[/mm] sin² [mm](\bruch{1}{x})[/mm]
> Zeige f hat ein lokales Minimum an der Stelle 0, aber für
> jedes [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ist f im Intervall [mm]]0,\varepsilon[[/mm]
> nicht monoton wachsend.
> Zeige f hat lokales Minimum in 0:
>
> f'(0) = [mm]\limes_{x\rightarrow0} \bruch{f(x) - f(0)}{x-0}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} \bruch{x^4 sin² (\bruch{1}{x})}{x}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow0} x^3[/mm] sin² [mm](\bruch{1}{x})[/mm] = 0 da
> [mm]x^3[/mm] gegen Null geht und sin beschränkt ist.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0+} \bruch{x^4 sin² (\bruch{1}{x})}{x}[/mm]
> > 0
> [mm]\limes_{x\rightarrow0-} \bruch{x^4 sin² (\bruch{1}{x})}{x}[/mm]
> < 0
> ->f hat in 0 Lokales Minimum
>
> Nun ist zu zeigen, dass f für jedes [mm]\varepsilon[/mm] im
> Intervall I = [mm]]0,\varepsilon[[/mm] nicht monoton wachsend ist.
>
> Sei [mm]x_1, x_2 \in[/mm] I mit [mm]0
>
> Annahme: f ist monoton steigend: Dann gilt [mm]f(x_1) \le f(x_2)[/mm]
> :
>
> [mm]f(x_1)= x_1^{4}[/mm] sin² [mm](\bruch{1}{x_1}) \le x_2^{4}[/mm] sin²
> [mm](\bruch{1}{x_2})[/mm] = [mm]f(x_2)[/mm]
>
> (=) [mm]\bruch{x_1^{4}}{x_2^{4}} \le \bruch{sin² (\bruch{1}{x_2}) }{sin² (\bruch{1}{x_1}) }[/mm]
>
> Linke Seite der Ungleichung ist für alle [mm]x_1, x_2[/mm] kleiner
> als 1
> und die rechte ist manchmal größer 1, da z.B im
> Intervall [mm]]\pi[/mm] / 2, [mm]\pi[[/mm]
> sin² [mm](\bruch{1}{x_2})[/mm] > sin² [mm](\bruch{1}{x_1})[/mm]
> Also folgt Widerspruch zur Annahme und f ist nicht monoton
> wachsend in I.
>
> Ist die Argumentation ok?
Leider Nein. was hat denn das Intervall [mm] ]\pi/2, \pi[
[/mm]
mit dem Intervall [mm] (0,\epsilon) [/mm] zu tun? Du musst zeigen dass du zu jedem [mm] \epsilon [/mm] x1 , x2,x3 in dem Intervall findest
mit x1<x2<x3 und f(x1)<f(x2) aber f(x1)>f(x3) oder so ähnlich.
Gruss leduart
|
|
|
|
