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Hallo,
Sei
[mm] a_{n} [/mm] := (1 + [mm] \bruch{1}{n})^{n}
[/mm]
Nun soll gezeigt werden, dass an streng monoton steigend ist.
Dazu werden in meinem Skript folgende Schritte gemacht:
Für n [mm] \in \IN [/mm] gilt
[mm] a_{n} [/mm] = (1 + [mm] \bruch{1}{n})^{n} [/mm]
= 1 * [mm] \produkt_{j=1}^{n}(1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n})
[/mm]
(der schritt ist ja trivial)
mit der "Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel" folgt:
< ( [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] ( 1+ [mm] \summe_{j=1}^{n}(1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] ) [mm] )^{n+1}
[/mm]
(diesen schritt versteh ich überhaupt nicht) siehe unten: (*)
= [mm] (\bruch{n+2}{n+1})^{n+1}
[/mm]
(diesen schritt versteh ich auch nicht) siehe unten: (**)
= (1 + [mm] \bruch{1}{n+1})^{n+1}
[/mm]
(verstanden)
= [mm] a_{n+1}
[/mm]
-----------------------------------
Also jetzt nochmal zu den Punkten (*) und (**) wo ich mein Probleme hab.
Wenn ich bei (*) die AGM-Ungleiochung anwende erhalte ich doch:
1 * [mm] \produkt_{j=1}^{n}(1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n})
[/mm]
[mm] \le [/mm] 1 * ( [mm] \bruch{1}{n} \summe_{j=1}^{n}(1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}))^{n}
[/mm]
was meiner meinung nach aber keine große ähnlichkeit zu
< ( [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] ( 1+ [mm] \summe_{j=1}^{n}(1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] ) [mm] )^{n+1}
[/mm]
hat
Und bei Schritt (**) hab ich auch keinen blasse Schimmer... ich hoffe mir kann jmd das erklären.
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> Hallo,
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> Sei
> [mm]a_{n} := (1 + \bruch{1}{n})^{n}[/mm]
> Nun soll gezeigt werden, dass an streng monoton steigend
> ist.
>
> Dazu werden in meinem Skript folgende Schritte gemacht:
>
> Für [mm]n \in \IN[/mm] gilt
> [mm]a_{n} = (1 + \bruch{1}{n})^{n} = 1 * \produkt_{j=1}^{n}(1 + \bruch{1}{n})[/mm]
> (der schritt ist ja trivial)
>
> mit der "Ungleichung zwischen geometrischem und
> arithmetischem Mittel" folgt:
>
> [mm]( \bruch{1}{n+1} ( 1+ \summe_{j=1}^{n}(1 + \bruch{1}{n})) )^{n+1}[/mm]
> (diesen schritt versteh ich überhaupt nicht) siehe unten:
> (*)
>
> = [mm](\bruch{n+2}{n+1})^{n+1}[/mm]
> (diesen schritt versteh ich auch nicht) siehe unten: (**)
>
> [mm]= (1 + \bruch{1}{n+1})^{n+1}[/mm]
> (verstanden)
>
> = [mm]a_{n+1}[/mm]
> -----------------------------------
>
> Also jetzt nochmal zu den Punkten (*) und (**) wo ich mein
> Probleme hab.
>
> Wenn ich bei (*) die AGM-Ungleiochung anwende erhalte ich
> doch:
>
> [mm]1 * \produkt_{j=1}^{n}(1 + \bruch{1}{n})\le 1 * ( \bruch{1}{n} \summe_{j=1}^{n}(1 +
\bruch{1}{n}))^{n}[/mm]
>
> was meiner meinung nach aber keine große ähnlichkeit zu
>
> [mm]( \bruch{1}{n+1} (\red{1}+ \summe_{j=1}^{n}(1 + \bruch{1}{n})))^{n+1}[/mm]
>
> hat
Wegen dem schlauen Dazugeben des trivialen Faktors $1$ hat man eben $n+1$ Faktoren beim geometrischen Mittel und $n+1$ Summanden beim arithmetischen Mittel (deshalb ja der Summand [mm] $\red{1}$ [/mm] vor [mm] $\sum_{j=1}^\infty \left(1+\frac{1}{n}\right)$: [/mm] dann kommts gerade richtig.
>
> Und bei Schritt (**) hab ich auch keinen blasse Schimmer...
> ich hoffe mir kann jmd das erklären.
[mm]\begin{array}{lcll}
\left(\frac{1}{n+1}\left(1+ \summe_{j=1}^n\left(1 + \frac{1}{n}\right)\right)\right)^{n+1} &=& \left(\frac{1}{n+1}\left(1+\summe_{j=1}^n \frac{n+1}{n}\right)\right)^{n+1} &\text{Sumanden gleichnamig gemacht}\\
&=& \left(\frac{1}{n+1}\left(1+n\cdot\frac{n+1}{n}\right)\right)^{n+1} &\text{Summanden sind von $j$ unabhängig}\\
&=& \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}
\end{array}[/mm]
>
> = [mm](\bruch{n+2}{n+1})^{n+1}[/mm]
Ok, das passt...
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