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Hallo,
habe mal eine kurze Frage,
ich berechne gerade eine Aufgabe und muss zeigen, dass die
Funktion:
[mm] f(x)=\begin{cases} (\bruch{1}{2})^{k}, & \mbox{für } (\bruch{1}{2})^{k} \le x \le (\bruch{1}{2})^{k-1}, k=1,2...
\mbox{} \\ 1, & \mbox{für } x \mbox{ 1} \end{cases}
[/mm]
und 0 für x=0,
monoton ist.
Ich weiss, dass eine funktion monoton wachsend ist,
wenn [mm] x_{n+1} \ge x_{n}, [/mm] aber wie zeige ich dass?
bin dankbar für jeden Hinweis.
Nathenatiker
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo und guten Morgen,
zuerst mal eine rethorische Frage - als Anmerkung zu verstehen:
Wo kommt denn ploetzlich das n bei Deiner Aufgabenstellung her, und
bsit Du bei Deiner Monotoniedefinition Dir ganz sicher ?
Allgemein ist es gut, bei Funktionen immer den Definitionsbereich anzugeben,
ich vermute mal, hier soll es eine Funktion [mm] f\colon\IR_{\geq 0}\to\IR [/mm] sein,
mit f(x)=1 fuer [mm] x\geq1 [/mm] und [mm] f(x)=2^{-k} [/mm] fuer [mm] 2^{-k}\leq [/mm] x < [mm] 2^{-(k-1)} [/mm] ,
oder ?
Weiterhin
Zur Monotonie: Eine solche Funktion f heisst monoton wachsend, wenn aus
x< y stets [mm] f(x)\leq [/mm] f(y) folgt.
Seien also [mm] x,y\in\IR_{\geq 0} [/mm] und gelte x<y. Wir betrachten dann mehrere Faelle, ich
nenn Dir ein paar, dann kannst Du versuchen, selber weiterzumachen:
Fall 1: y=1. Es gilt offenbar [mm] f(x)\leq [/mm] 1 fuer alle [mm] x\in \IR_{\geq 0}, [/mm] somit also auch
[mm] f(x)\leq [/mm] f(y)=1.
Fall 2: x=0. Es gilt [mm] f(y)\geq [/mm] 0 fuer alle [mm] y\in\IR_{\geq 0}, [/mm] also insb. [mm] 0=f(0)=f(x)\leq [/mm] f(y)
Fall 3: 0< x<y<1
Fall 3a: Es gibt k [mm] \in\{0,1,2,3,\ldots\} [/mm] mit
[mm] 2^{-k} \leq [/mm] x < y< [mm] 2^{-(k-1)} [/mm]
Dann gilt f(x) =f(y) , insb. [mm] f(x)\leq [/mm] f(y).
Fall 3b: Sonst. Dann gibt es [mm] k_1>k_2 [/mm] mit
[mm] 2^{-k_1}\leq [/mm] x < [mm] 2^{-(k_1-1)} \leq 2^{-k_2}\leq [/mm] y < [mm] 2^{-(k_2-1)}
[/mm]
Und jetzt kannst Du selber schauen, was da passiert.
Gruss und viel Erfolg,
Mathias
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