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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Do 08.07.2004 | | Autor: | tine |
Hallo,
leider hab ich schon wieder eine Frage und zwar sollen wir zeigen das für x>0 und y [mm] \in \IR [/mm] gilt:
[mm] x^{y} [/mm] ist als Funktion von y bei festem x streng monoton wachsend falls x>1 und streng monoton fallend falls x< 1
und
[mm] x^{y} [/mm] ist als Funktion von x bei festem y streng monoton wachsend falls y>0 und streng monoton fallend falls y< 0
Mir wär schon geholfen wenn ich ein paar Informationen bekäme wie ich da ran gehen könnte!!!
Liebe Grüße
Tine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Do 08.07.2004 | | Autor: | taenzer |
Hallo,
Du musst folgendes Überprüfen:
x-Abhängigkeit:
Folgt aus [mm] $x_2>x_1$ [/mm] auch [mm] $f(x_2)>f(x_1)$ [/mm] dann ist $f$ streng monoton steigend.
Folgt aus [mm] $x_2>x_1$ $f(x_2)
Bei der y-Abhängigkeit musst Du nur $y$ statt $x$ setzen.
Ich teste das meistens folgendermaßen (Vorschlag):
Sei [mm] $x_2-x_1=\sigma>0$. [/mm] Welche Aussage kann ich über [mm] $f(x_2)-f(x_1)$ [/mm] machen. Größer oder kleiner Null? Bei Deinem Beispiel:
[mm] $x_2^y-x_1^y$
[/mm]
[mm] $=(x_1+\sigma)^y-x_1^y$
[/mm]
Jetzt formst Du den Term solange um, bis Du genau siehst, ob er größer oder kleiner Null ist. Man kann z.B. [mm] $(x_1+\sigma)^y$ [/mm] durch [mm] $x_1^y+y\sigma x_1^{(y-1)}$ [/mm] nähern. Dazu musst man aber genau wissen, ob man durch die Näherung etwas weglässt oder dazutut, damit die Argumentationskette immer stimmt. Probier am besten selber ein bisschen rum. Bei [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] ist das z.B. ganz einfach, weil man da die binomischen Formeln anwenden kann. Wie das in Deinem allgemeineren Fall funktioniert, weiss ich leider nicht. Hoffentlich habe ich Dir geholfen...
Gruß
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Do 08.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Tine!
Es gilt:
[mm] $x^y= e^{y \ln(x)}$.
[/mm]
Nun betrachten wir für festes $x$ die Funktion
$f(y) = [mm] e^{y \ln(x)}$.
[/mm]
Für die Monotonie muss man sich das Vorzeichen der Ableitung anschauen.
Es gilt:
$f'(y) = [mm] \ln(x) \cdot e^{y \ln(x)}$.
[/mm]
Wegen [mm] $e^{y \ln (x)}> [/mm] 0$ und
[mm] $\ln(x)>0 \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] x>1$,
[mm] $\ln(x)< [/mm] 0 [mm] \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] x<1$
sieht man:
$f'(y) > 0 [mm] \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] x>1$,
$f'(y) < 0 [mm] \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] x<1$,
also:
$f$ ist genau dann streng monoton steigend, wenn $x>1$ gilt und genau dann streng monoton fallend, wenn $x<1$ gilt.
Nun betrachten wir für festes [mm] $y\in \IR$ [/mm] die Funktion
$g(x) = [mm] e^{y \ln(x)}$
[/mm]
auf [mm] $\IR^+\setminus\{0\} [/mm] = [mm] ]0,+\infty[$.
[/mm]
Es gilt:
$g'(x) = [mm] \frac{y}{x} \cdot e^{y \ln(x)}$.
[/mm]
Wegen [mm] $e^{y \ln(x)}>0$ [/mm] und $x>0$ folgt:
$g'(x) > 0 [mm] \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] y>0$,
$g'(x) < 0 [mm] \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] y<0$,
also:
$f$ ist genau dann streng monoton steigend, wenn $y>0$ gilt und genau dann streng monoton fallend, wenn $y<0$ gilt.
Liebe Grüße
Stefan
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