Monotone Konvergenz < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:53 Sa 18.12.2010 | | Autor: | schneva |
| Aufgabe | Es sei [mm] ($\Omega$, $\mathscr{A}$, $\mu$) [/mm] ein Maßraum und es sei $({ [mm] f_n})_{n{\in}{\mathds{N}}}$ [/mm] eine monoton wachsende Folge von Funktionen aus [mm] $\mathscr{E}$*. [/mm] Dann gilt
[mm] $\displaystyle\sup_{n\in\mathds{N}} \int{f_n} \!\ d\mu$ [/mm] = [mm] $\displaystyle\int\sup_{n\in\mathds{N}}{f_n} \!\ d\mu$ [/mm] |
Hallo,
ich soll den Satz der monotonen Konvergenz mit allen nötigen Zwischenschritten beweisen.
[mm] $\mathscr{E}$* [/mm] ist die Menge aller numerischen Funktionen $ [mm] f\ge0$ [/mm] auf $ [mm] \Omega [/mm] $ zu welchen eine isotone Folge $ [mm] ({v_n}) [/mm] $ von Elementarfunktionen $ [mm] ({v_n})\in \mathscr{E}$ [/mm] exitiert mit [mm] $f=\sup{v_n}$. $\mathscr{E}$ [/mm] ist die Menge aller Elementarfunktionen.
Ich hab mir den Beweis von Heinz Bauer "Maß- und Integrationstheorie" durchgelesen und noch ein paar Fragen dazu in der Hoffnung, dass sie mir jemand beantworten kann.
Als erstes wird
[mm] $f:=\sup{f_n}$
[/mm]
Es heißt in dem Beweis, dass wenn $ [mm] \sup{v_n}=f [/mm] $ und [mm] ${v_n}\le{f_n} [/mm] $ gilt, dass dann f in [mm] $\mathscr{E}$* [/mm] liegt und dass [mm] $\int [/mm] f [mm] d\mu [/mm] = [mm] \sup\int{v_n} d\mu$ [/mm] und [mm] $\int{v_n}d\mu \le \int{f_n}d\mu$ [/mm] nach der Definition vom Integral gilt.
(1) Daraus folgt dann, dass [mm] $\int fd\mu \le \sup\int{f_n}d\mu$
[/mm]
Folgt das dann daraus, weil [mm] $\int [/mm] f [mm] d\mu [/mm] = [mm] \sup\int{v_n} d\mu$ [/mm] und [mm] ${v_n}\le{f_n} [/mm] $ und somit $ [mm] \int [/mm] f [mm] d\mu= \sup\int{v_n} d\mu \le \sup\int{f_n}d\mu$ [/mm] ist?
(2) Weil [mm] ${f_n} \le [/mm] f$ ist, ist nach der Definition vom Integral [mm] $\sup\int{f_n}d\mu\le \int [/mm] f [mm] d\mu$. [/mm] Wieso ist das so?
(3) Die Existenz einer isotonen Folge [mm] $({v_n})$ [/mm] von Funktionen aus [mm] $\mathscr{E}$* [/mm] muss nachgewiesen werden, mit folgender Bedingung: [mm] $\sup{v_n}=f$ [/mm] und [mm] ${v_n}\le{f_n}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\mathds{N}$ [/mm] Zu jedem [mm] {f_n} [/mm] gibt es nach Definition eine monoton wachsende Folge [mm] {u_m_n} [/mm] m=1,2,... von Funktionen aus [mm] $\mathscr{E}$ [/mm] mit [mm] $\sup{u_m_n} [/mm] = [mm] {f_n}$. [/mm] Gilt das wohl dann nach der Definition von [mm] $\mathscr{E}$*??
[/mm]
(4) Die Funktion [mm] {v_m}:= $\sup({u_m_1},...,{u_m_m})$ [/mm] in [mm] $\mathscr{E}$(m=1,2,...). [/mm] Die Isotonie der Folgen [mm] {(u_m_n)} [/mm] m=1,2,... zieht dann die Isotonie von [mm] (v_m) [/mm] nach sich. Wieso zieht das die Isotonie nach sich? Aus der Isotonie von [mm] (f_m) [/mm] folgt [mm] {v_m}\le{f_m} [/mm] für alle m und damit [mm] $\sup{v_m}\le [/mm] f$. Wo kommt plötzlich das [mm] (f_m) [/mm] her?
(5) Für alle $m [mm] \ge [/mm] n$ hat man [mm] {u_m_n} \le{v_m} [/mm] (Wieso?) und somit dann [mm] $\sup{u_m_n}={f_n}\le\sup{v_m}$ [/mm] n=1,2,....
Heißt das, dass [mm] ${f_n}\le\sup{v_m}\le [/mm] f$ ist wegen [mm] $m\ge [/mm] n$?
(6) Wieso ergibt sich daraus dann [mm] \sup{v_m}=f [/mm] ?
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen, danke schonmal!
Liebe Grüße,
schneva
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 23.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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