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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Limboman |
Hallo Ihr! Habe eine knifflige Aufgabe für euch.
Sei x>0 ein Element eines archimedrisch angeordneten vollständigen Körpers K. Für n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] a_{n} [/mm] die kleinste natürliche Zahl mit [mm] a_{n}^{2} \ge [/mm] x [mm] \* 7^{-n}. [/mm] Warum existiert diese? Weiterhin sei
[mm] b_{n}=a_{n} \* 7^{-n} [/mm] und [mm] c_{n}=(a_{n}-1) \* 7^{-n}.
[/mm]
Zeigen Sie:
[mm] b_{n} [/mm] ist eine monoton fallende, [mm] c_{n} [/mm] eine monoton steigende Folge rationaler Zahlen; beide Folgen sind beschränkt; beide Folgen sind konvergent.
Eine möglichkeit die Monotonie Nachzuweisen war die Differenz zu bilden aber irgendwie gelingt das nicht.
Wir haben es auch schon mit Induktion versucht aber kommen noch nicht mal durch den Induktionsanfang richtig durch.
Als kleines Beispiel mit der Differenz führe ich unser Ergebniss mal auf.
zz: [mm] b_{n} [/mm] ist monoton fallend
[mm] b_{n} \ge b_{n+1}
[/mm]
[mm] a_{n} \* 7^{-n} \ge a_{n+1} \* 7^{-n+1}
[/mm]
also: [mm] b_{n+1} [/mm] - [mm] b_{n} [/mm] = [mm] a_{n+1} \* 7^{-n+1} [/mm] - [mm] a_{n} \* 7^{-n} [/mm] = [mm] 7^{-n}\*(a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n})\*7 [/mm]
= [mm] \bruch{1}{7^{n}}\*(a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n})\*7 [/mm]
Wenn wir jetzt kein Fehler gemacht haben wären alle Werte positiv. Die Differenz muß allerdings ein [mm] \le [/mm] 0 ergeben damit es eine fallende Folge ist.
Mein Ergeniss ist also ein Gegenbeispiel zur Annahme.
Kann uns jemand helfen wir wissen einfach nicht mehr weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Do 17.11.2005 | | Autor: | saxneat |
Tach Limboman!
[mm] b_{n}=a_{n}*7^{-n}
[/mm]
[mm] b_{n+1}=a_{n+1}*7^{-(n+1)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] b_{n+1}-b_{n}=a_{n+1}*7^{-(n+1)}-a_{n}*7^{-n}=(\bruch{1}{7}a_{n+1}-a_{n})*7^{-n}
[/mm]
nun gilt [mm] a_{n}^{2}\ge\bruch{x}{7^{n}} [/mm] und [mm] a_{n+1}^{2}\ge\bruch{x}{7^{n+1}} [/mm] also
[mm] \bruch{x}{7^{n+1}}<\bruch{x}{7^{n}}\le a_{n}^{2}
[/mm]
konstuktionsbedingt kann [mm] a_{n+1}^{2} [/mm] nicht größer als [mm] a_{n}^{2} [/mm] sein
also [mm] a_{n+1}\le a_{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] 7^{-n}(\bruch{1}{7}a_{n+1}-a_{n})\le [/mm] 0
woraus die Monotonie folgt.
MfG
saxneat
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