Monomiales Ideal < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Fr 29.06.2007 | | Autor: | Brumm |
| Aufgabe | | Geben Sie einen Algorithmus an, der die algebraische Varietät eines monomialen Ideals bestimmt. |
Hallo,
Ich komme mit dieser Frage nicht weiter.
Also ein Monom ist ja ein Term wie folgt : [mm] x^a [/mm] = [mm] {x_1}^{a_1} [/mm] ... [mm] {x_n}^{a_n}. [/mm]
Ein monomiales Ideal wird eben aus diesen Monomen erzeugt. Wir haben also I = < [mm] \{x^a | a \in A \} [/mm] > , wobei A [mm] \subset \IN^n [/mm] endlich .
Ich kann I nun umschreiben als
I = [mm] \summe_{A} \lambda_a x^a [/mm] , wobei [mm] \lambda_a \in K[x_1,...,x_n] [/mm] und [mm] x^a [/mm] Monom
Sprich um die Varietät zu bestimmen müsste ich diese Summe einfach nur gleich 0 setzen.
Ist dies soweit richtig ? Wenn ja, wie erhalte ich denn nun einen Algorithmus, der mir die Nullstellenmenge angibt ?
Vielen Dank,
Brumm
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 Fr 29.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Brumm
> Geben Sie einen Algorithmus an, der die algebraische
> Varietät eines monomialen Ideals bestimmt.
> Hallo,
>
> Ich komme mit dieser Frage nicht weiter.
>
> Also ein Monom ist ja ein Term wie folgt : [mm]x^a[/mm] =
> [mm]{x_1}^{a_1}[/mm] ... [mm]{x_n}^{a_n}.[/mm]
> Ein monomiales Ideal wird eben aus diesen Monomen erzeugt.
> Wir haben also I = < [mm]\{x^a | a \in A \}[/mm] > , wobei A [mm]\subset \IN^n[/mm]
> endlich .
>
> Ich kann I nun umschreiben als
> I = [mm]\summe_{A} \lambda_a x^a[/mm] , wobei [mm]\lambda_a \in K[x_1,...,x_n][/mm]
> und [mm]x^a[/mm] Monom
Das stimmt so nicht ganz: $I$ ist die Menge aller solcher Summen (und unter dem Summenzeichen soltle $a [mm] \in [/mm] A$ stehen und nicht nur $A$).
> Sprich um die Varietät zu bestimmen müsste ich diese Summe
> einfach nur gleich 0 setzen.
Es geht einfacher: wenn du $I = [mm] \langle f_1, \dots, f_m \rangle$ [/mm] hast mit Polynomen [mm] $f_1, \dots, f_m \in K[x_1, \dots, x_n]$, [/mm] dann ist die Varietaet von $I$ gerade durch [mm] $\{ (t_1, \dots, t_n) \in K^n \mid f_1(t_1, \dots, t_n) = \dots = f_m(t_1, \dots, t_n) = 0 \}$ [/mm] gegeben.
Du musst also alle [mm] $(t_1, \dots, t_n) \in K^n$ [/mm] bestimmen mit [mm] $t_1^{a_1} \cdots t_n^{a_n} [/mm] = 0$, wobei $a = [mm] (a_1, \dots, a_n)$ [/mm] ist, und dies fuer alle $a [mm] \in [/mm] A$ gilt.
Damit solltest du jetzt die Nullstellenmenge eines Monomideals viel einfacher beschreiben koennen (bedenke: in einem Koerper ist das Produkt zweier Elemente 0, wenn mindestens eins der Elemente schon 0 war).
> Ist dies soweit richtig ? Wenn ja, wie erhalte ich denn
> nun einen Algorithmus, der mir die Nullstellenmenge angibt?
Mit dieser einfacheren Beschreibung bekommst du vielleicht eine Idee.
Wenn nicht, schreib erstmal hin wie du die Nullstellenmenge mit dem o.g. beschreiben wuerdest.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 So 01.07.2007 | | Autor: | Brumm |
| Aufgabe | | Beschreiben Sie das Radikal eines monomialen Ideals. |
Erst einmal vielen Dank.
Wie kann ich denn nun weiter das Radikal eines solchen monomialen Ideals bestimmen?
Das Radikal ist ja definiert als [mm] \wurzel[]{I} [/mm] = [mm] \{ x \in R | \exists r \in \IN : x^r \in I \} [/mm] , wobei R ein kommutativer Ring ist mit 1 ist und I [mm] \subset [/mm] R.
Aber wie mache ich nun weiter?
Vielen Dank,
Brumm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 So 01.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Brumm
> Beschreiben Sie das Radikal eines monomialen Ideals.
> Erst einmal vielen Dank.
> Wie kann ich denn nun weiter das Radikal eines solchen
> monomialen Ideals bestimmen?
>
> Das Radikal ist ja definiert als [mm]\wurzel[]{I}[/mm] = [mm]\{ x \in R | \exists r \in \IN : x^r \in I \}[/mm]
> , wobei R ein kommutativer Ring ist mit 1 ist und I [mm]\subset[/mm]
> R.
>
> Aber wie mache ich nun weiter?
Wenn zum Beispiel [mm] $x_1^5 x_2^2 x_3 \in [/mm] I$ ist, dann ist [mm] $x_1 x_2 x_3 \in \sqrt{I}$.
[/mm]
Vielleicht gibt dir das eine Idee, wie du aus Erzeugern fuer $I$ Erzeuger fuer [mm] $\sqrt{I}$ [/mm] finden kannst?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 So 01.07.2007 | | Autor: | Brumm |
Hallo Felix,
Ich konnte nun dank deiner Hilfe einen Algorithmus aufschreiben wie ich die Erzeuger des Radikals eines solchen Monoms bestimmen kann.
Aber wie kann ich das Radikal beschreiben ?
LG,
Brumm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 So 01.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Brumm
> Ich konnte nun dank deiner Hilfe einen Algorithmus
> aufschreiben wie ich die Erzeuger des Radikals eines
> solchen Monoms bestimmen kann.
Schoen.
> Aber wie kann ich das Radikal beschreiben ?
So wie du allgemein Ideale beschreibst: indem du Erzeuger angibst.
Wenn etwa $I$ das Ideal ist, was von [mm] $x_1^3$, $x_2 x_3^4$ [/mm] und [mm] $x_1 x_2^2$ [/mm] erzeugt wird, dann wird das Radikal von [mm] $x_1$, $x_2 x_3$ [/mm] und [mm] $x_1 x_2$ [/mm] erzeugt wird.
(In diesem Fall sieht man, dass man den Erzeuger [mm] $x_1 x_2$ [/mm] weglassen kann; aber das ist ja egal, es wurde ja nicht nach einer minimalen Anzahl von Erzeugern gefragt :) )
LG Felix
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