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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:12 So 04.12.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ein Monoid (=Halbgruppe mit einem neutralen Element) kann als Kategorie [mm] $\mathcal{H}$ [/mm] mit einem einzigen Objekt aufgefasst werden - wobei man dieses beliebig wählt und setzt
[mm] $\operatorname{Hom}_{\mathcal{H}}(A,A):=H$,
[/mm]
mit der in H gegebenen Komposition.
Ist das Monoid H eine Gruppe oder eine kommutative Halbgruppe, so gilt:
In der Kategorie [mm] $\mathcal{H}$ [/mm] existiert das binäre cartesische Produkt [mm] $A\times [/mm] A$ genau dann, wenn das Monoid H nur aus einem einzigen Element besteht.
[s. auch Hinweise unten] |
Hinweise zu der Aufgabe:
Besitzt ein Objekt A in einer beliebigen Kategorie C ein binäres cartesisches Produkt [mm] $A\times [/mm] A$ mit den Projektionen [mm] $p_i: A\times A\to [/mm] A, i=1,2)$, so existiert eine (eindeutig bestimmte) Abbildung
[mm] $\Delta_A: A\to A\times [/mm] A$
(der sog. Diagonal-Morphismus) mit den Eigenschaften:
[mm] $pr_i\circ\Delta_A=id_A, [/mm] i=1,2$.
Ist K eine Gruppe, so ist [mm] $\Delta_A$ [/mm] ein Isomorphismus in [mm] $\mathcal{K}$ [/mm] (da jedes Element von K ein Isomorphismus von [mm] $\matchcal{K}$ [/mm] ist). Ist K ein kommutatives Monoid, so folgt
[mm] $\Delta_A\circ pr_i=id_A$ [/mm]
in [mm] $\mathcal{K}$, [/mm] d.h. [mm] $\Delta_A$ [/mm] ist auch in diesem Fall ein Isomorphismus. Weiter folgt daraus
[mm] $pr_1=pr_2$,
[/mm]
woraus für beliebige Morphismen $f,g$ folgt $f=g$. (Warum?)
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Puh, da werde ich von erschlagen.
Es wäre toll, wenn mir da jemand helfen könnte! Alleine steige ich da nämlich bei bestem Willen nicht durch!
BEWEIS:
[mm] "$\Rightarrow"
[/mm]
In der Kategorie [mm] $\mathcal{H}$ [/mm] existiere das binäre cartesische Produkt [mm] $A\times [/mm] A$.
Weiter weiß ich leider auch schon nicht!
Ich habe hier einen Link, dort steht auf Seite 6 etwas über binäre Produkte: Ist das hier mit "binärem cartesischen Produkt" gemeint?
http://www.cs.uni-potsdam.de/ti/lehre/04-Kategorien/Vortrag1.pdf
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 So 04.12.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich habe mal ein bisschen versucht, über die Beweisrichtung [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] nachzudenken.
Kann man nicht mit Hilfe der Voraussetzung, daß in [mm] $\mathcal{H}$ [/mm] das binäre cart. Produkt [mm] $A\times [/mm] A$ existiert und der Hinweise, die gegeben sind, zu dem Schluss kommen, daß für zwei bel. Morphismen [mm] $f,g\in \operatorname{Hom}_{\mathcal{H}}(A,A):=H$ [/mm] immer gilt [mm] $f=g=id_A$ [/mm] und deswegen H nur ein Element besitzt?
Was mich daran stört, ist, daß ich nirgends erkenne, wozu man braucht, daß H Gruppe oder kommutatives Monoid ist...
Edit:
Obwohl: Man scheint das ja für die Aussage f=g zu brauchen!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 06.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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