Momenterzeugende Funktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Di 23.03.2010 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Die Zufallsvariable X sei [mm] D(\lambda)-verteilt, [/mm] also abs.-stetig mit Dichte
f(x)= [mm] \bruch{\lambda}{2}*e^{-\lambda*|x|} [/mm] x [mm] \in \IR (\lambda>0 [/mm] fest)
a) zeigen sie, dass die momenterzeugende Funktion [mm] M_{X} [/mm] die Form
[mm] M_{X}(t)= \bruch{\lambda^{2}}{\lambda^{2}-t^{2}} [/mm] |
Hallo erstmal,
also ich bin soweit, dass ich [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{tx}\bruch{\lambda}{2}*e^{-\lambda*|x|}dx} [/mm] gebildet habe. t ist hierbei meine vaiable der Momenterzeugenden.
Anschliessnd habe ich das Integral aufgeteilt um den Betrag aufzulösen und habe ein wenig umgeformt
[mm] \integral_{-\infty}^{0}{e^{-(\lambda-t)x}\bruch{\lambda}{2}}dx [/mm] + [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-(\lambda-t)x}\bruch{\lambda}{2}}dx
[/mm]
Für den zweiten Teil der Summe ist klar, dass es für [mm] \infty [/mm] 0 wird und für 0 wird es [mm] \bruch{\lambda}{2(\lambda-t)} [/mm] wird.
bei dem ersten integral wird es für 0 ebenso [mm] -\bruch{\lambda}{2(\lambda-t)}, [/mm] allerdings habe ich dann das Probleme, dass [mm] -\infty [/mm] keine wirkliche zahl liefert.
Ich wollte also fragen ob ich mich hier auf dem Holzweg befinde, einfach rechenfehler gemacht habe oder mir Dinge entgehen die zur Lösung führen
Vielen Dank schon im vorraus
Peon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Di 23.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Die Zufallsvariable X sei [mm]D(\lambda)-verteilt,[/mm] also
> abs.-stetig mit Dichte
>
> f(x)= [mm]\bruch{\lambda}{2}*e^{-\lambda*|x|}[/mm] x [mm]\in \IR (\lambda>0[/mm]
> fest)
>
> a) zeigen sie, dass die momenterzeugende Funktion [mm]M_{X}[/mm] die
> Form
>
> [mm]M_{X}(t)= \bruch{\lambda^{2}}{\lambda^{2}-t^{2}}[/mm]
> Hallo
> erstmal,
> also ich bin soweit, dass ich
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{tx}\bruch{\lambda}{2}*e^{-\lambda*|x|}dx}[/mm]
> gebildet habe. t ist hierbei meine vaiable der
> Momenterzeugenden.
>
> Anschliessnd habe ich das Integral aufgeteilt um den Betrag
> aufzulösen und habe ein wenig umgeformt
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{0}{e^{-(\lambda-t)x}\bruch{\lambda}{2}}dx[/mm]
> +
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-(\lambda-t)x}\bruch{\lambda}{2}}dx[/mm]
>
Für x [mm] \le [/mm] 0 ist $|x|=-x$, also ist
[mm]\integral_{-\infty}^{0}{e^{tx}\bruch{\lambda}{2}*e^{-\lambda*|x|}dx}=\integral_{-\infty}^{0}{e^{tx}\bruch{\lambda}{2}*e^{\lambda*x}dx}[/mm]
FRED
> Für den zweiten Teil der Summe ist klar, dass es für
> [mm]\infty[/mm] 0 wird und für 0 wird es
> [mm]\bruch{\lambda}{2(\lambda-t)}[/mm] wird.
>
> bei dem ersten integral wird es für 0 ebenso
> [mm]-\bruch{\lambda}{2(\lambda-t)},[/mm] allerdings habe ich dann
> das Probleme, dass [mm]-\infty[/mm] keine wirkliche zahl liefert.
>
>
> Ich wollte also fragen ob ich mich hier auf dem Holzweg
> befinde, einfach rechenfehler gemacht habe oder mir Dinge
> entgehen die zur Lösung führen
>
> Vielen Dank schon im vorraus
> Peon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Di 23.03.2010 | | Autor: | Peon |
Danke für den Tip. Hat geholfen und die Aufgabe ist gelöst.
Nun noch eine weiter frage bzgl der momenterzeugenden:
Das 2te Moment soll berechnet werden und die Varianz.
Ausgehend von [mm] M_{X}(t)=\bruch{\lambda^{2}}{(\lambda^{2}-t^{2})}
[/mm]
Ich habe das 2te Moment folgends berechnet:
Es gilt 2tes Moment:
[mm] E(x^{2})=M''_{X}(0) [/mm]
M'_{X}(t) = [mm] \bruch{2t\lambda^{2}}{(\lambda^{2}-t^{2})^{2}}
[/mm]
M''_{X}(t) = [mm] \bruch{2\lambda^{2}(\lambda^{2}-t^{2})^{2}+2t\lambda^{2}2(\lambda^{2}-t^{2})2t}{(\lambda^{2}-t^{2})^{4}} [/mm] (*)
nach unsauber kürzen und zusammenfassen komme ich auf:
[mm] M''_{X}(t)=\bruch{2\lambda^{4}+6t^{2}\lambda^{2}}{(\lambda^{2}-t^{2})^{3}}
[/mm]
Also an der Stelle t=0
[mm] M''_{X}(0)=\bruch{2\lambda^{4}}{\lambda^{6}}
[/mm]
Setze ich allerdings (*) t=0 komme ich auf
M''_{X}(0)= 2
Da hackts bei mir grade und ich habe es schon x-mal nachgerechnet komme aber einfach nicht auf die richtige lösung. Denke mir es sollte wenigstens ein [mm] \lambda [/mm] erhalten bleiben aber der "richtigere" Rechenweg scheint mir der genauere.
Zur Varianz:
Es gilt nach Verschiebungssatz VAR(X)= [mm] E(X^{2})-E(X)^{2}
[/mm]
Mit dem ersten und zweiten Moment komme ich dabei auf
[mm] VAR(X)=M''_{X}(0)-(M'_{X}(0))^{2}
[/mm]
Dabei habe ich dann das Problem, dass das erste Moment im Punkt t=0 M'_{X}(0)=0 annimmt.
Ist daher hier das zweite Moment gleich der Varianz?
kann man die aussage für [mm] D(\lambda)-verteilte [/mm] ZV verallgemeinern? (nur eine Zusatzfrage)
Ich danke erneut
Peon
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