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Momente: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:28 Fr 08.06.2012
Autor: Fry

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo zusammen,

möchte immer noch zeigen, dass gilt:
$E[e^{a |X|}]<\infty$  für ein $a>0$ $\Rightarrow E|X|^n<\infty$ für alle $n\in\mathbb N$.

Es gilt ja $E|X|^n=\int_{0}^{\infty} nt^{n-1}P(|X|>t)dt$
$E[e^{a|X|}]=\int_{0}^{\infty}ae^{at}P(|X|>t)dt$

Könnte man einfach sagen, dass $nt^{n-1}$ schneller wächst als $a e^{at}$
und daher $E|X|^n\le E[e^{a|X|]$ ? Wie könnt man das denn mathematisch rigoros begründen?

LG
Fry


        
Bezug
Momente: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:41 Fr 08.06.2012
Autor: Fry


Oder funktioniert vielleich der folgende Ansatz?

[mm] $E[e^{a|X|}]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n\mathbb E|X|^n}{n!}<\infty [/mm]
[mm] \Rightarrow E|X|^n<\infty$ [/mm]
Bezug
        
Bezug
Momente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 Fr 08.06.2012
Autor: Gonozal_IX

Hi Fry,

das hatte ich dir doch schon widerlegt.... dachte ich erst. Aber damals fehlten die Betragsstriche ;-)

Mein erster Ansatz war:
[mm] $e^{\alpha*x}$ [/mm] ist konvex für [mm] $\alpha [/mm] > 0$

Daher liefert die Jensensche Ungleichung sofort:

$1 [mm] \le e^{\alpha*E[|X|]} \le E[e^{a |X|}] [/mm] < [mm] \infty$ [/mm]

Das liefert dir aber nur $X [mm] \in \mathcal{L}^1$. [/mm]

Besser gehts wohl so: es gilt

[mm] $E[e^{a |X|}] [/mm] = [mm] E\left[\summe_{k=0}^\infty \bruch{(a|X|)^k}{k!}\right] \overbrace{=}^{!} \summe_{k=0}^\infty E\left[\bruch{(a|X|)^k}{k!}\right] [/mm] < [mm] \infty$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow E\left[\bruch{(a|X|)^k}{k!}\right] [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] und damit das Gewünschte :-)

Du solltest dir nur noch überlegen, warum (!) gilt.


edit: Sehe gerade, dass du genau das auch gemacht hast ^^
Aber beantworte mal obige Frage, dann ists wasserdicht ;-)
MFG,
Gono.
Bezug
                
Bezug
Momente: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:39 Fr 08.06.2012
Autor: Fry

Danke! :)

Satz von der monotonen Konvergenz, oder?

VG
Fry

Bezug
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