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| Aufgabe | | Unter Zuhilfenahme der Moivre'schen Formeln finde man eine Darstellung für die Funktion [mm] cos^4(t) [/mm] als trigonometrisches Polynom der Periode [mm] 2*\pi [/mm] |
Hallo,
als erstes hab ich die Moivre'sche Formel
[mm] (\cos(t) [/mm] + i * [mm] \sin(t))^n [/mm] = [mm] (\cos(n*t) [/mm] + i * [mm] \sin(n*t)) [/mm] für n = 4 hergenommen und diese umgeformt, bis ich schließlich auf folgendes Ergebnis gekommen bin:
[mm] \cos^4(t) [/mm] = [mm] \frac{\cos(4*t) + 4*\cos(2*t) + 3}{8}
[/mm]
Wenn ich diesen Ausdruck in WolframAlpha eingebe, dann erkenne ich, dass die Funktion [mm] \pi [/mm] - periodisch ist. In der Aufgabenstellung ist jedoch verlangt, die Funktion [mm] 2*\pi [/mm] - periodisch darzustellen. Um das zu bekommen, hätte ich mir überlegt, den cos-Winkel jeweils zu halbieren. Also:
==> [mm] \frac{\cos(2*t) + 4 * \cos(t) + 3}{8}
[/mm]
Kann das so stimmen?
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 So 08.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schluchti!
Nein, das kann so nicht stimmen. Schließlich ist nunmehr keine Identität gegeben mit [mm] $\cos^4(t)$ [/mm] .
Aber eine Funktion, welche [mm] $\pi$-periodisch [/mm] ist, ist es doch auch automatisch für ganze Vielfache (d.h. auch [mm] $2\pi$ [/mm] ).
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
das heißt,
[mm] \cos^4(t) [/mm] = [mm] \frac{\cos(4*t) + 4*\cos(2*t) + 3}{8} [/mm]
ist eigentlich schon die Lösung, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 So 08.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja es ist die richtige Lösung
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 So 08.04.2012 | | Autor: | Schluchti |
Hallo,
vielen Dank euch zweien!
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Hallo,
um ein wenig zu üben, wollte ich noch die beiden Funktionen [mm] \cos^3(t) [/mm] und [mm] \sin^3(t) [/mm] als trigonometrische Polynome der Periode [mm] 2*\pi [/mm] darstellen.
Wenn ich das für die Funktion [mm] \cos^3(t) [/mm] durchführe, dann komme ich auf: [mm] cos^3(t) [/mm] = [mm] \frac{\cos(3*t) + 3*\cos(t)}{4}, [/mm] was laut Wolfram Alpha auch passt.
Als nächstes hätt ich mich an der Funktion [mm] sin^3(t) [/mm] versucht, doch da komm ich irgendwie nicht weiter. Mein Gedankengang sieht so aus:
[mm] (\cos(t) [/mm] + i * [mm] \sin(t))^3 [/mm] = [mm] \cos(3t) [/mm] + i * [mm] \sin(3t) [/mm] ... Moivre'sche Formel für n = 3
Wenn ich nun die linke Seite auflöse, dann komm ich auf: [mm] (\cos(t) [/mm] + i * [mm] \sin(t))^3 [/mm] = [mm] \cos^3(t) [/mm] + [mm] 3*i*\cos^2(t)*\sin(t) [/mm] - [mm] 3*\cos(t)*\sin^2(t) [/mm] - [mm] i*\sin^3(t)
[/mm]
Als nächstes mach ich nen Koeffizientenvergleich, wobei mich ja in meinem Fall nur der Realteil interessiert. D.h:
[mm] \cos(3t) [/mm] = [mm] \cos^3(t) [/mm] - [mm] 3*\cos(t)*\sin^2(t)
[/mm]
Diese Gleichung muss ich ja nun so lange umformen bis [mm] \sin^3(t) [/mm] = ... da steht. Nur wie mach ich das, wenn darin nur [mm] \sin^2(t) [/mm] vorkommt? Ich hab schon versucht diverse Formeln aus meiner trigonometrischen Formelsammlung einzusetzen, um mir so irgendwie ein [mm] \sin^3(t) [/mm] zu "erzeugen", doch bis jetzt war ich da noch nicht erfolgreich. Kann mir da vielleicht jemand nen Stubs in die richtige Richtung geben? Das wär echt toll!
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Hallo Schluchti,
> Hallo,
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> um ein wenig zu üben, wollte ich noch die beiden
> Funktionen [mm]\cos^3(t)[/mm] und [mm]\sin^3(t)[/mm] als trigonometrische
> Polynome der Periode [mm]2*\pi[/mm] darstellen.
>
> Wenn ich das für die Funktion [mm]\cos^3(t)[/mm] durchführe, dann
> komme ich auf: [mm]cos^3(t)[/mm] = [mm]\frac{\cos(3*t) + 3*\cos(t)}{4},[/mm]
> was laut Wolfram Alpha auch passt.
>
> Als nächstes hätt ich mich an der Funktion [mm]sin^3(t)[/mm]
> versucht, doch da komm ich irgendwie nicht weiter. Mein
> Gedankengang sieht so aus:
>
> [mm](\cos(t)[/mm] + i * [mm]\sin(t))^3[/mm] = [mm]\cos(3t)[/mm] + i * [mm]\sin(3t)[/mm] ...
> Moivre'sche Formel für n = 3
>
> Wenn ich nun die linke Seite auflöse, dann komm ich auf:
> [mm](\cos(t)[/mm] + i * [mm]\sin(t))^3[/mm] = [mm]\cos^3(t)[/mm] +
> [mm]3*i*\cos^2(t)*\sin(t)[/mm] - [mm]3*\cos(t)*\sin^2(t)[/mm] - [mm]i*\sin^3(t)[/mm]
>
> Als nächstes mach ich nen Koeffizientenvergleich, wobei
> mich ja in meinem Fall nur der Realteil interessiert. D.h:
> [mm]\cos(3t)[/mm] = [mm]\cos^3(t)[/mm] - [mm]3*\cos(t)*\sin^2(t)[/mm]
> Diese Gleichung muss ich ja nun so lange umformen bis
> [mm]\sin^3(t)[/mm] = ... da steht. Nur wie mach ich das, wenn darin
> nur [mm]\sin^2(t)[/mm] vorkommt? Ich hab schon versucht diverse
> Formeln aus meiner trigonometrischen Formelsammlung
> einzusetzen, um mir so irgendwie ein [mm]\sin^3(t)[/mm] zu
> "erzeugen", doch bis jetzt war ich da noch nicht
> erfolgreich. Kann mir da vielleicht jemand nen Stubs in die
> richtige Richtung geben? Das wär echt toll!
Es ist doch nur der Imaginärteil von Interesse:
[mm]3*\cos^{2}\left(t\right)*\sin\left(t\right)-\sin^{3}\left(t\right)=\sin\left(3t\right)[/mm]
Die linke Seite ist nun solange umzuformen, bis dasteht:
[mm]a*\sin\left(t\right)+b*\sin^{3}\left(t\right)=\sin\left(3t\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
vielleicht sitz ich jetzt einfach schon zu lange an Mathe, aber warum ist da nur der Imaginärteil von Interesse? Die Funktion [mm] (\sin^3(t)) [/mm] beinhaltet ja keinen Imaginärteil? Oder steh ich grad am Schlauch?
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Hallo Schluchti,
> Hallo MathePower,
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> vielleicht sitz ich jetzt einfach schon zu lange an Mathe,
> aber warum ist da nur der Imaginärteil von Interesse? Die
> Funktion [mm](\sin^3(t))[/mm] beinhaltet ja keinen Imaginärteil?
> Oder steh ich grad am Schlauch?
Von dieser Gleichung
[mm]\left( \ \cos\left(t\right)+i*\sin\left(t\right)\ \right)^{3}=\cos\left(3t\right)+i\sin\left(3t\right)[/mm]
ist nur der Imaginärteil von Interesse.
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
ja, nur versteh ich da grad nicht, warum man da den Imaginärteil betrachten muss.
Ich hab vorhin versucht, die Funktion [mm] sin^2(t) [/mm] als trigonometrisches Polynom der Periode [mm] 2*\pi [/mm] darzustellen. Da hab ich es so gemacht:
[mm] (\cos(t) [/mm] + i * [mm] \sin(t))^2 [/mm] = [mm] \cos(2*t) [/mm] + i * [mm] \sin(2*t) [/mm] ... Moivre'sche Formel
Koeffizientenvergleich:
.)Realteil:
[mm] \cos(2*t) [/mm] = [mm] \cos^2(t) [/mm] - [mm] \sin^2(t) [/mm] = (1 - [mm] \sin^2(t)) [/mm] - [mm] \sin^2(t)
[/mm]
Dann hab ich das nach [mm] \sin^2(t) [/mm] aufgelöst und folgendes herausbekommen:
[mm] \sin^2(t) [/mm] = [mm] \frac{1 - \cos^2(t)}{2}
[/mm]
Laut Wolfram Alpha sollte das stimmen.
Was ich aber dann nicht verstehe: Wieso muss ich, wenn ich [mm] \sin^3(t) [/mm] als trigonometrische Funktion darstellen möchte, beim Koeffizientenvergleich nur den Imaginärteil betrachten und bei [mm] \sin^2(t) [/mm] wiederrum nur den Realteil? Ich glaub, ich mach grad nen echt blöden Denkfehler..
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Hallo Schluchti,
> Hallo MathePower,
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> ja, nur versteh ich da grad nicht, warum man da den
> Imaginärteil betrachten muss.
>
> Ich hab vorhin versucht, die Funktion [mm]sin^2(t)[/mm] als
> trigonometrisches Polynom der Periode [mm]2*\pi[/mm] darzustellen.
> Da hab ich es so gemacht:
> [mm](\cos(t)[/mm] + i * [mm]\sin(t))^2[/mm] = [mm]\cos(2*t)[/mm] + i * [mm]\sin(2*t)[/mm] ...
> Moivre'sche Formel
>
> Koeffizientenvergleich:
> .)Realteil:
> [mm]\cos(2*t)[/mm] = [mm]\cos^2(t)[/mm] - [mm]\sin^2(t)[/mm] = (1 - [mm]\sin^2(t))[/mm] -
> [mm]\sin^2(t)[/mm]
> Dann hab ich das nach [mm]\sin^2(t)[/mm] aufgelöst und folgendes
> herausbekommen:
> [mm]\sin^2(t)[/mm] = [mm]\frac{1 - \cos^2(t)}{2}[/mm]
> Laut Wolfram Alpha
> sollte das stimmen.
>
> Was ich aber dann nicht verstehe: Wieso muss ich, wenn ich
> [mm]\sin^3(t)[/mm] als trigonometrische Funktion darstellen möchte,
> beim Koeffizientenvergleich nur den Imaginärteil
> betrachten und bei [mm]\sin^2(t)[/mm] wiederrum nur den Realteil?
> Ich glaub, ich mach grad nen echt blöden Denkfehler..
>
Weil der Imaginärteil der linken Seite
der betrachteten Gleichung [mm]\sin^{3}\left(t\tight)[/mm] enthält.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 So 08.04.2012 | | Autor: | Schluchti |
Hallo MathePower,
aaaah, jetzt hat's "klick" gemacht! Vielen lieben Dank!
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