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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Do 01.05.2008 | | Autor: | JanJan |
| Aufgabe | Man beweise mit
[mm] $(cos(x)+i*sin(x))^{n} [/mm] = cos(nx) + i*sin(x)$,
dass gilt:
$cos(nx) = [mm] cos^{n}(x) [/mm] - [mm] \vektor{n \\ 2} cos^{n-2}(x)sin^{2}(x) [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 4} cos^{n-4}(x)sin^{4}(x) [/mm] - ...$
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Hallo liebe Leute :)
Versuche jetzt schon ne weile das Problem zu knacken, finde aber leider nicht den richtigen weg :(
Ich mache folgendes:
$cos(nx) = - i*sin(nx) + [mm] (cos(x)+i*sin(x))^{n}$ [/mm] jetzt kommt der binomische Satz:
[mm] $\gdw [/mm] cos(nx) = - i*sin(nx) + [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} cos^{n}(x) sin^{n-k}(x)$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] cos(nx) = - i*sin(nx) + [mm] cos^{n}(x) [/mm] + [mm] i*n*cos^{n-1}(x)sin(x) [/mm] - [mm] \vektor{n \\ 2} cos^{n-2}(x)sin^{2}(x) [/mm] - i [mm] \vektor{n \\ 3} cos^{n-3}(x)sin^{3}(x)$
[/mm]
ab hier komm ich leider nicht weiter :(
Es scheint ja so, als ob zu dem Kosinus alle geraden Potenzen gehören und zu dem Sinus alls ungeraden, aber mir will einfach kein weg einfallen mit dem ich die geraden von den ungeraden Potenzen trennen könnte...
Oder kürzen sich die ungeraden Potenzen einfach raus?
Muss ich gar den Taylor zu rate ziehen?
Habt ihr vllt einen Tipp?
mfg JanJan
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Hallo JanJan,
> Man beweise mit
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> [mm](cos(x)+i*sin(x))^{n} = cos(nx) + i*sin(x)[/mm],
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> dass gilt:
> [mm]cos(nx) = cos^{n}(x) - \vektor{n \\ 2} cos^{n-2}(x)sin^{2}(x) + \vektor{n \\ 4} cos^{n-4}(x)sin^{4}(x) - ...[/mm]
>
> Hallo liebe Leute :)
>
> Versuche jetzt schon ne weile das Problem zu knacken, finde
> aber leider nicht den richtigen weg :(
>
> Ich mache folgendes:
>
> [mm]cos(nx) = - i*sin(nx) + (cos(x)+i*sin(x))^{n}[/mm]
> jetzt kommt der binomische Satz:
> [mm]\gdw cos(nx) = - i*sin(nx) + \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} cos^{n}(x) sin^{n-k}(x)[/mm]
>
> [mm]\gdw cos(nx) = - i*sin(nx) + cos^{n}(x) + i*n*cos^{n-1}(x)sin(x) - \vektor{n \\ 2} cos^{n-2}(x)sin^{2}(x) - i \vektor{n \\ 3} cos^{n-3}(x)sin^{3}(x)[/mm]
>
> ab hier komm ich leider nicht weiter :(
>
> Es scheint ja so, als ob zu dem Kosinus alle geraden
> Potenzen gehören und zu dem Sinus alls ungeraden, aber mir
> will einfach kein weg einfallen mit dem ich die geraden von
> den ungeraden Potenzen trennen könnte...
> Oder kürzen sich die ungeraden Potenzen einfach raus?
> Muss ich gar den Taylor zu rate ziehen?
Trenn Real- und Imaginärteil.
Der Realteil gibt die Formel für [mm]\cos\left(nx\right)[/mm], der Imaginärteil die Formel für [mm]\sin\left(nx\right)[/mm].
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> Habt ihr vllt einen Tipp?
>
> mfg JanJan
Gruß
MathePower
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