Möglichkeiten einer PIN < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sie haben leider die vierstellige PIN [mm]n_{1}n_{2}n_{3}n_{4}[/mm], [mm]n_{i} \in {0,..9}[/mm], [mm]i=1,..4[/mm], ihrer EC-Karte vergessen. Sie können sich lediglich daran erinnern, dass die Summe der vier Zahlen neun ergab (also [mm]n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}=9[/mm]) und die Zahlenfolge absteigend war (also [mm]n_{1} \geq n_{2} \geq n_{3} \geq n_{4}[/mm]).
Wieviel Möglichkeiten müssen Sie für ihre PIN in Betracht ziehen. |
Hallo!
Ich bin mir bei der obigen Aufgabe nicht sicher, ob meine Lösung bzw. Ansatz richtig ist.
Ich habe mir überlegt, dass diese Problem auf die Problematik zurückzuführen ist wieviele Zahlen zwischen 0000 und 9999 die Quersumme neun haben.
Nun bilde ich die Zahlen 0,...,9 auf 1,..,10 ab.(wegen der Null)
Nun berechne ich die Anzahl der geordneten 4-Zahlpartitionen:
[mm]\vektor{9+4-1 \\
4-1 } = \vektor{12 \\
3 } = 220[/mm]
Ist dies schon die Lösung bzw. ist der Ansatz bzgl. der Aufgabe richtig?
Würd mich über nen Tipp freuen!
Gruß Charlie
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> Sie haben leider die vierstellige PIN [mm]n_{1}n_{2}n_{3}n_{4}[/mm],
> [mm]n_{i} \in {0,..9}[/mm], [mm]i=1,..4[/mm], ihrer EC-Karte vergessen. Sie
> können sich lediglich daran erinnern, dass die Summe der
> vier Zahlen neun ergab (also [mm]n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}=9[/mm]) und
> die Zahlenfolge absteigend war (also [mm]n_{1} \geq n_{2} \geq n_{3} \geq n_{4}[/mm]).
>
> Wieviel Möglichkeiten müssen Sie für ihre PIN in
> Betracht ziehen.
>
>
> Hallo!
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> Ich bin mir bei der obigen Aufgabe nicht sicher, ob meine
> Lösung bzw. Ansatz richtig ist.
>
> Ich habe mir überlegt, dass diese Problem auf die
> Problematik zurückzuführen ist wieviele Zahlen zwischen
> 0000 und 9999 die Quersumme neun haben.
> Nun bilde ich die Zahlen 0,...,9 auf 1,..,10 ab.(wegen der
> Null)
>
> Nun berechne ich die Anzahl der geordneten
> 4-Zahlpartitionen:
> [mm]\vektor{9+4-1 \\
4-1 } = \vektor{12 \\
3 } = 220[/mm]
>
> Ist dies schon die Lösung bzw. ist der Ansatz bzgl. der
> Aufgabe richtig?
> Würd mich über nen Tipp freuen!
> Gruß Charlie
Hallo Charlie,
in deiner Rechnung erkenne ich überhaupt nicht, an
welcher Stelle da jetzt die Quersumme eingeflossen
sein soll ...
LG Al-Chw.
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Hallo Charlie,
ich habe mir das Ganze nochmals angeschaut und
festgestellt, dass deine Lösung (Ergebnis 220) absolut
richtig ist.
Für alle anderen, die dies hier noch lesen, möchte ich
eine Erklärung liefern, wie man zu der Formel kommt,
hier für dieses spezielle Beispiel zugeschnitten.
Um Partitionen der 9 aus Ziffern aus [mm] \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}
[/mm]
aus genau 4 Summanden zu bilden - und zwar geordnete
Partitionen (weil ja die Reihenfolge der Ziffern im
PIN-Code wesentlich ist), machen wir ein kleines Spiel
mit den Symbolen [mm] $\bullet$ [/mm] und [mm] $\mid$ [/mm] , wobei vom ersten 9 und vom
zweiten 3 Exemplare zur Verfügung stehen. Nun bildet
man beliebige Ketten aus diesen insgesamt 12 Symbolen,
also zum Beispiel
[mm] $\bullet\bullet\mid\bullet\bullet\mid\bullet\bullet\bullet\bullet\mid\bullet$
[/mm]
[mm] $\bullet\bullet\bullet\bullet\mid\mid\bullet\bullet\bullet\bullet\mid\bullet$
[/mm]
[mm] $\mid\bullet\bullet\mid\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\mid\bullet\bullet$
[/mm]
[mm] $\mid\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\mid\mid$
[/mm]
Nun kann man jeder derartigen Zeichensequenz eine
bestimmte geordnete Partition zuordnen. Für die ange-
gebenen Beispiele wären dies:
2+2+4+1
4+0+4+1
0+2+5+2
0+9+0+0
Ein Trennstrich zwischen zwei Punkten trennt positive
Summanden. Zwischen unmittelbar benachbarten Trenn-
strichen kann man sich einen Summanden Null denken.
Auch ein Trennstrich am Anfang oder am Ende der Sequenz
trennt einen Nullsummanden ab.
Man muss sich nun klar machen, dass die Zuordnung
dieser geordneten Sequenzen zu den geordneten
Partitionen der Neun aus jeweils genau 4 Summanden
aus der vorgegebenen Grundmenge bijektiv ist.
Nun geht die Berechnung so wie bei Permutationen mit
Wiederholungen (Standardbeispiel "MISSISSIPPI"). Wir
haben insgesamt 12 Symbole, davon je 9 und je 3
untereinander identische. Also ist die Anzahl der
möglichen Sequenzen gleich
[mm] $\overline{P}_{12=9+3}\ [/mm] =\ [mm] \frac{12\,!}{9\,!*3\,!}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{12\\9}\ [/mm] =\ 220$
LG Al-Chw.
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Hallo Al-Chwarizmi!
Also ich muss zugeben, dass ich nicht so genau wusste was ich da mache(also den Ansatz den du machst hatte ich definitv nicht betrachtet ![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]") )
Umso besser, dass du mir bzw. dem Matheraum nochmals eine genaue Erläuterung gegeben hast. Vielen Dank!
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