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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Mo 17.05.2010 | | Autor: | DasDogma |
| Aufgabe 1 | Gegeben sei die Möbiustransformation
[mm]f(z)=\bruch{(2+2i)z}{z-1-i}[/mm].
a) Berechnen Sie alle Fixpunkte z=f(z) der Abbildung in kartesischer und trigonometrischer Darstellung.
b) Bestimmen Sie das Bild der Winkelhalbierenden Re(z)=Im(z).
c) Worauf wird die Halbebene unterhalb der Winkelhalbierenden abgebildet?
d) Berechnen Sie die Umkehrabbildung von f |
| Aufgabe 2 | Gegeben sei die Funktion
[mm]f(z)=\bruch{1+2i+iz}{z-i}[/mm].
a) Ist diese Funktion eine Möbius-Transformation?
b) Auf welchen Bereich wird das Innere des Dreiecks mit den Eckpunkten
[mm]z_1=-1, z_2=1, z_3=i\wurzel{3}[/mm] abgebildet. (Beachten Sie dabei, dass die Randgeraden des Dreiecks als verallgemeinerte Kreise in solche Äubergehen und dass die Möbiustransformation orientierungserhaltend ist.) |
1a)
Ich habe also wie gegeben die Funktion gleich z gesetzt und bin letzten Endes auf folgendes Ergebnis gekommen
[mm]z=3+3i=3(1+i) \Rightarrow z=\wurzel{18}(cos(\bruch{1}{4}\pi)+isin(\bruch{1}{4}\pi) [/mm]
1b)
Um die Winkelhalbierende zu charakterisieren benötige ich 3 Punkte. Dazu wähle ich [mm] z_1=0, z_1=3+3i, z_3=\infty [/mm]. Nun habe ich das ganze in die obige Funktion eingesetzt und kam auf die Werte
[mm]w_1=f(z_1)=0, w_2=f(z_2)=3+3i, w_3=f(z_3)=2+2i[/mm].
Daraus erkenne ich, dass die Winkelhalbierende wieder in eine Winkelhalbierende mit gleicher Orientierung übergeht.
Ist das richtig?
1c)
Da die Funktion orientierungserhaltend ist, wird die untere Halbebene auch wieder die untere Halbebene sein.
1d)
Durch ein wenig umstellen nach z kam ich auf:
[mm]z=f(w)=\bruch{-(1+i)w}{-w+2+2i}[/mm].
2a)
Da für eine Möbiustransformation [mm]ad-cb\not=0[/mm] gelten muss, habe ich einfach die passenden Werte eingesetzt und kam auf:
[mm]-2i\not=0[/mm].
2b)
Ein Dreieck besteht ja aus drei sich schneidenen Geraden. Um diese zu charakterisieren habe ich immer drei Punkte gewählt. Diese setzen sich aus den jeweiligen zwei Schnittpunkten und dem unendlichfernen Punkt zusammen.
Daraus entstehen dann drei sich schneidene Kreise. Ist das richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Mo 17.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1a) z=0 als Fixpkt fehlt.
b)richtig, besser direkt bild von a+i*a.
c) falsch nimm ne parllele zur Wh in der unteren Halbebene und bild sie ab.
1a) richtig,
b) du hast die Frage, wohin das Innere abgebildt wird nicht beantwortet, 3 Kreise ist richtig für die Trennlinien. aber die musst du wohl angeben.
Gruss leduart
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Danke für die schnelle Antwort.
Aufgabe 1 müsste jetzt passen.
Zur zweiten Aufgabe, habe ich nun die Kreise gezeichnet. Da die Möbiustransformation orientierungstreu ist, müsste also das Innere des Dreiecks in die Vereinigung der drei Kreise abgebildet werden, oder?
Gruß DasDogma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Mi 19.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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