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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Di 25.01.2005 | | Autor: | Hannah2 |
Hallo,
ich studiere Wirtschaftsingenieurwesen in Landshut und komme bei einem Problem bezüglich der Möbiustransformation nicht weiter. Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Problem : Transformation untere ( oder obere, rechte, linke) Halbebene auf das Kreisinnere(oder Kreisäussere) (z.B. Einheitskreis)
Welche Punkte darf ich für z.B. die untere Halbebene in welcher Reihenfolge wählen?
Kann ich dafür die Punkte 1, 0 und -1 wählen und welchen der Punkte muss ich mit welchem Index (z1, z2, z3) in die Möbius-Doppelverhältnis- Formel einsetzen?
Formel:
[mm] \bruch{w-w1}{w-w2} * \bruch{w3-w2}{w3-w1} [/mm] =
[mm] \bruch{z-z1}{z-z2} * \bruch{z3-z2}{z3-w1} [/mm]
Worin liegt bei diesem Aufgabentyp der Unterschied zu einer einfachen Transformation von drei Urbildpunkten in drei Bildpunkte?
Vielen Dank für eure Hilfe
Hannah
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Di 25.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Hannah!
Bleiben wir mal bei der unteren Halbebene und dem Inneren des Einheitskreises. Wichtig ist, dass der Rand auf den Rand abgebildet wird. Daher setzen wir mal so an:
$f(0)=1$
$f(1)=i$
$f(-1)=-i$.
Durch Einsetzen und Auflösen nach $w$ erhalten wir:
[mm] $w=\frac{i-z}{i+z}$.
[/mm]
Durch Einsetzen von $z=-i$ erhalten wir: [mm] $w=\infty$, [/mm] d.h. die untere Halbebene wird auf das Äußere des Einheitskreises abgebildet, wir müssen also noch eine Spiegelung am Einheitskreis dazwischenschalten, also die Abbildung $z [mm] \mapsto \frac{1}{z}$. [/mm] Dadurch erhalten wir:
$w= [mm] \frac{i+z}{i-z}$
[/mm]
als gewünschte Abbildung. Da der Einheitskreis natürlich invariant unter Drehungen ist, können wir jetzt jede beliebige Drehung hinterherschalten, etwa die Drehung um 180° (also die Multiplikation mit $-1$). Wir erhalten die übliche Form
$w= f(z) = [mm] \frac{z+i}{z-i}$,
[/mm]
einer biholomorphen (Möbius-)Transformation der unteren Halbebene in das Innere des Einheitskreises.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Hannah2 |
Hey Julius,
danke für die schnelle Rückantwort, du hast mir sehr geholfen!
LG
Hannah
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