Modul und Ideal < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:07 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Dana22 |
Huch, na sowas, noch eine Aufgabe. OK, versprochen ist die letzte zu diesem Thema. 
M, N seien R - Moduln und I Ideal in R.
f : [mm] M \to N [/mm] sei ein Homomorphismus und [mm] I^n [/mm] = (0).
Zeige: f induziert einen Homomorphismus f' : mm] M/IM [mm] \to [/mm] N/IN [/mm] und f' ist surjektiv wenn f surjektiv ist.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:43 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Dana22 |
R kommutativer Ring mit 1
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Julius |
Alles Rote ist verbessert. Hier hat der blöde Julius  die falsche Definition von [mm] $\red{IM}$ [/mm] genommen. (Stefan)
Hallo!
> M, N seien R - Moduln und I Ideal in R.
> f : [mm]M \to N[/mm] sei ein Homomorphismus und [mm]I^n[/mm] = (0).
> Zeige: f induziert einen Homomorphismus f' : mm] M/IM [mm]\to[/mm]
> N/IN[/mm] und f' ist surjektiv wenn f surjektiv ist.
Im Moment sehe ich nicht, wo man die Voraussetzung [mm] $I^n=\{0\}$ [/mm] braucht, vielleicht kann mir da ja jemand helfen.
Also, ich definiere:
$f' : [mm] \begin{array}{ccc} M/IM & \to & N/IN \\[5pt] m + IM & \mapsto & f(m) + IN.\end{array}$.
[/mm]
Es gilt:
[mm] $\red{IM=\{x \in M\, : \, \exists (n \in \IN, m_1,\ldots, m_n \in M, r_1,\ldots, r_n \in I)\, : \, x = r_1 n_1 + \ldots r_n m_n\}}$.
[/mm]
Nun muss man zeigen:
1) $f'$ ist wohldefiniert
Aus [mm] $\red{m-m' \in IM}$ [/mm] folgt aber die Existenz eines [mm] $\red{n \in \IN}$, [/mm] Elementen [mm] $\red{r_1,\ldots, r_n \in I}$ [/mm] und [mm] $\red{m_1,\ldots,m_n}$ [/mm] mit
[mm] $\red{m-m'=r_1 m_1 + \ldots r_n m_n}$. [/mm]
Daraus folgt:
[mm] $\red{f(m-m') = f(r_1 m_1 + \ldots + r_n m_n) = r_1 f(m_1) + \ldots r_n f(m_n) \in IN}$,
[/mm]
also für $m,m' [mm] \in [/mm] M$ mit $m+IM = m' +IM$:
$f(m+IM) - f(m'+IM) = (f(m) +IN) - ( f(m') + IN) = f(m-m') + IN = IN$.
2) $f'$ ist ein $R$-Modulhomomorphismus
Da $I$ ein Ideal ist, gilt für alle [mm] $m\in [/mm] M$ und $alle r [mm] \in [/mm] R$:
$r (m+IM) = rm + IM$.
Daraus folgt für $m [mm] \in [/mm] M$, $r [mm] \in [/mm] R$:
$f'(r (m+IM)) = f'(rm + IM) = f(rm) = rf(m)= r f'(m+IM)$.
Weiterhin gilt für $m,m' [mm] \in [/mm] M$:
$f'((m + IM) + (m' + IM)) = f'((m+m') + IM) =f(m+m') = f(m) + f(m') = f'(m+IM) + f'(m' + IM)$.
3) $f'$ ist ein surjektiv, wenn $f$ surjektiv ist
Es sei $n +IN [mm] \in [/mm] N/IN$ beliebig vorgegeben. Dann gibt es, da $f$ surjektiv ist, ein $m [mm] \in [/mm] M$ mit $f(m)=n$. Es folgt:
$f'(m+IM) = f(m) = n +IN$.
Und, wo brauchte man jetzt die Voraussetzung [mm] $I^n=\{0\}$. [/mm] Sieht das jemand? Ich nicht. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:10 Di 29.06.2004 | | Autor: | Dana22 |
Hallo Julius,
vielen Dank für deine Hilfe. Volle Punktzahl gab es zwar nicht, trotzdem vielen vielen vielen Dank. Falls es dich interessiert, im Anhang befindet sich die Musterlösung, mit der man volle Punktzahl bekommen hätte.
Liebe Grüße Dana!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:23 Di 29.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Dana!
Ich finde, so geht das nicht.
Du stellst mir erst die falsche Aufgabenstellung und sagst mir dann, dass es für meine Lösung keine volle Punktzahl gab.
Du schriebst mir als Aufgabenstellung:
"Zeige:...f' ist surjektiv wenn f surjektiv ist".
Das habe ich gezeigt und dafür hätte es auch volle Punktzahl gegeben. Jetzt sehe ich aber in der Musterlösung, dass man aber auch die Umkehrung der Aussagen zeigen sollte, und die ist ja gerade das Problem. Da hätte man dann auch [mm] $I^n=\{0\}$ [/mm] gebraucht.
Also, so macht es keinen Spaß. Bitte schreibe demnächst die Aufgabenstellung richtig ab oder schaue hinterher erst einmal nach, woran es eigentlich lag, dass es keine volle Punktzahl gab.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:12 Di 29.06.2004 | | Autor: | Dana22 |
Hallo Julius,
das sollte absolut kein Vorwurf sein, dass es keine volle Punktzahl gab!!!!
Nein, bitte versteh das nicht falsch!!!
Uns wurde gestern bei der Übungsrückgabe gesagt, dass man das "genau dann wenn" zeigen sollte. Dies war aber aus der Aufgabenstellung nicht ersichtlich!!!
Und nun dachte ich vielmehr, dir die Musterlösung von unserem Übungsleiter zu zeigen. Weil du in einem Beitrag geschrieben hast, "wozu braucht man nun das [mm] I^n [/mm] ?" Deswegen hab ich die Lösung reingestellt gehabt!
Und nicht um dich anzugreifen!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ich bin dankbar, dass du uns überhaupt geholfen hast!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Liebe Grüße Dana
|
|
|
|
