Modul und Ideal < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:59 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Dana22 |
Noch eine Aufgabe zu Modulen und diesmal Idealen. Was ist der Unterschied zwischen Modulen und Untermodulen? Was sind Ideale?! Ich weiß, ich hab absolut keine Ahnung!
Aber trotzdem würde ich gerne um einen Ansatz für den Beweis und um Hinweise zum Beweis bitten.
M, N seien R-Module und I, J Ideale in R. (R kommutativer Ring mit 1)
Zeige JM [mm] \subset [/mm] M ist ein Untermodul.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Dana!
Also, die Definitionen kannst du dir ja wohl in deinem Vorlesungsskript anschauen. ![[buchlesen]](/images/smileys/buchlesen.gif "[buchlesen]")
Okay, ich bin ja nicht so:
Definition: Ideal
Eine nichtleere Teilmenge $J$ eines Ringes $R$ heißt Ideal, wenn $J$ eine Untergruppe der additiven Gruppe $(R,+)$ von $R$ ist, und wenn $jr [mm] \in [/mm] J$ für alle $j [mm] \in [/mm] J$, [mm] $r\in [/mm] R$, gilt.
Definition: Modul (eigentlich: Linksmodul, aber das scheint ihr nicht zu unterscheiden)
Eine abelsche Gruppe $M$ mit Addition $+$ heißt ein $R$-(Links-)Modul, wenn es eine Verknüpfung $(r,m) [mm] \mapsto [/mm] rm$ von $R [mm] \times [/mm] M$ in $M$ existiert derart, dass für alle [mm] $r,r_1,r_2 \in [/mm] R$ und alle [mm] $m,m_1,m_2\in [/mm] M$ folgende Gleichungen gelten:
(a) [mm] $(r_1r_2)m [/mm] = [mm] r_1(r_2m)$,
[/mm]
(b) [mm] $r(m_1 [/mm] + [mm] m_2) [/mm] = [mm] rm_1 [/mm] + [mm] rm_2$,
[/mm]
(c) [mm] $(r_1 [/mm] + [mm] r_2)m [/mm] = r_1m + r_2m$,
(d) $1m = m$.
Definition: Untermodul
Es sei $M$ ein $R$-Modul. Eine nichtleere Teilmenge $U$ von $M$ heißt ein Untermodul von $M$, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
(a) [mm] $u_1 [/mm] - [mm] u_2 \in [/mm] U$ für alle [mm] $u_1,u_2 \in [/mm] U$,
(b) $r [mm] \cdot [/mm] u [mm] \in [/mm] U$ für alle $r [mm] \in [/mm] R$ und $u [mm] \in [/mm] U$.
Jetzt zu der Aufgabe:
Es sei also $M$ ein $R$-Modul, $I$ ein Ideal von $R$ und
$IM = [mm] \{x \in M\, :\, \exists (n \in \IN,\, r_1,\ldots,r_n \in I,\, m_1,\ldots,m_n \in M)\, : x = r_1m_1 + \ldots r_n m_n\}$.
[/mm]
Zu zeigen ist, dass $IM$ ein Untermodul von $M$ ist.
Offenbar gilt: $0 [mm] \in [/mm] IM$.
Zu zeigen ist nun, dass mit $x [mm] \in [/mm] IM$ und $y [mm] \in [/mm] IM$ auch $x-y [mm] \in [/mm] IM$ gilt.
Sind aber:
$x = [mm] r_1 m_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] r_n m_n \in [/mm] IM$ (mit [mm] $r_1,\ldots,r_n \in [/mm] I$, [mm] $m_1,\ldots,m_n \in [/mm] M$),
$y = [mm] s_1 l_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] s_k l_k \in [/mm] IM$ (mit [mm] $s_1,\ldots,s_k \in [/mm] I$, [mm] $l_1,\ldots, l_k \in [/mm] M$),
dann gilt auch:
$x-y = [mm] r_1 m_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] r_n m_n [/mm] - [mm] s_1 l_1 [/mm] - [mm] \ldots [/mm] - [mm] s_k l_k \in [/mm] IM$,
nach Definition von $IM$.
Zu zeigen bleibt, dass mit $x [mm] \in [/mm] IM$ und $r [mm] \in [/mm] R$ auch $rx [mm] \in [/mm] IM$ gilt.
Für
$x = [mm] r_1 m_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] r_n m_n \in [/mm] IM$ (mit [mm] $r_1,\ldots,r_n \in [/mm] I$, [mm] $m_1,\ldots,m_n \in [/mm] M$)
und $r [mm] \in [/mm] R$ ist aber:
$rx = [mm] rr_1 m_1 [/mm] + [mm] \ldots rr_n m_n \in [/mm] IM$,
da $I$ ein Ideal ist und daher für alle [mm] $i=1,\ldots,n$ [/mm] die Beziehung
[mm] $\underbrace{r}_{\in R} \underbrace{r_i}_{\in I} \in [/mm] I$
gilt.
Liebe Grüße
Stefan
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