Modifizierter Gram-Schmidt < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | QR-Zerlegung nach dem modifizierten Gram-Schmidt-Verfahren
Wie lautet die R-Matrix?
Das ganze habe ich an einem Beispiel gerechnet
[mm] A=\begin{pmatrix} 1&1&1\\\epsilon&0&0\\0&\epsilon&0\\0&0&\epsilon\end{pmatrix} [/mm] |
Gegeben ist [mm] A=(w_1,w_2,w_3)=(w_1^1,w_2^1,w_3^1). [/mm]
Die Bestimmung der Q-Matrix habe ich wie folgt ermittelt:
[mm] q_1=\frac{w_1}{||w_1||}=\begin{pmatrix}1\\0,00000001\\0\\0\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] w_2^2=w_2^1-(w_2^1,q_1)q_1=\begin{pmatrix}0\\-\epsilon\\\epsilon\\0\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] w_3^2=w_3^1-(w_3^1,q_1)q_1=\begin{pmatrix}0\\-\epsilon\\0\\\epsilon\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] q_2=\frac{w_2^2}{||w_2^2||}=\begin{pmatrix}
0\\-0,7092198582\\0,7092198582\\0\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] w_3^3=w_3^2-(w_3^2,q^2)q^2=\begin{pmatrix}
0\\-5.00155\cdot 10^{-9}\\-4.99845\cdot 10^{-9}\\\epsilon\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] q_3=\frac{w_3^3}{||w_3^3||}=\begin{pmatrix}0\\-0,4083748409\\-0,408212727\\0,8164965679\end{pmatrix}
[/mm]
und als Q-Matrix erhalte ich
[mm] \begin{pmatrix}1&0&0\\0,00000001&-0,7092198582&-0,4083748409\\ 0&0,7092198582&0,4083748409\\0&0&0,8164965679\end{pmatrix}
[/mm]
Die Q-Matrix habe ich mit der Orginallösung verglichen. Allerdings weiß ich jetzt nicht wie ich bei diesem Verfahren auf meine R-Matrix kommen soll.
Folgendes habe ich ausprobiert, komme aber so nicht zur Lösung
[mm] R=\begin{pmatrix} ||w_1|| &(q_1,w_2^1)&(q_1,w_3^1)\\0&||w_2^2||&(q_2,w_3^2)\\0&0&||w_3^3||)\end{pmatrix}
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:50 Sa 23.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> QR-Zerlegung nach dem modifizierten Gram-Schmidt-Verfahren
> Wie lautet die R-Matrix?
> Das ganze habe ich an einem Beispiel gerechnet
> [mm]A=\begin{pmatrix} 1&1&1\\\epsilon&0&0\\0&\epsilon&0\\0&0&\epsilon\end{pmatrix}[/mm]
>
> Gegeben ist [mm]A=(w_1,w_2,w_3)=(w_1^1,w_2^1,w_3^1).[/mm]
>
> Die Bestimmung der Q-Matrix habe ich wie folgt ermittelt:
>
> [mm]q_1=\frac{w_1}{||w_1||}=\begin{pmatrix}1\\0,00000001\\0\\0\end{pmatrix}[/mm]
Das stimmt nicht. Der obige Vektor hat nicht Norm 1
FRED
>
> [mm]w_2^2=w_2^1-(w_2^1,q_1)q_1=\begin{pmatrix}0\\-\epsilon\\\epsilon\\0\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]w_3^2=w_3^1-(w_3^1,q_1)q_1=\begin{pmatrix}0\\-\epsilon\\0\\\epsilon\end{pmatrix}[/mm]
> [mm]q_2=\frac{w_2^2}{||w_2^2||}=\begin{pmatrix}
0\\-0,7092198582\\0,7092198582\\0\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]w_3^3=w_3^2-(w_3^2,q^2)q^2=\begin{pmatrix}
0\\-5.00155\cdot 10^{-9}\\-4.99845\cdot 10^{-9}\\\epsilon\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]q_3=\frac{w_3^3}{||w_3^3||}=\begin{pmatrix}0\\-0,4083748409\\-0,408212727\\0,8164965679\end{pmatrix}[/mm]
> und als Q-Matrix erhalte ich
>
> [mm]\begin{pmatrix}1&0&0\\0,00000001&-0,7092198582&-0,4083748409\\ 0&0,7092198582&0,4083748409\\0&0&0,8164965679\end{pmatrix}[/mm]
>
> Die Q-Matrix habe ich mit der Orginallösung verglichen.
> Allerdings weiß ich jetzt nicht wie ich bei diesem
> Verfahren auf meine R-Matrix kommen soll.
> Folgendes habe ich ausprobiert, komme aber so nicht zur
> Lösung
>
> [mm]R=\begin{pmatrix} ||w_1|| &(q_1,w_2^1)&(q_1,w_3^1)\\0&||w_2^2||&(q_2,w_3^2)\\0&0&||w_3^3||)\end{pmatrix}[/mm]
>
|
|
|
|
