Modifikation von Heun < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 Di 31.07.2012 | | Autor: | kaju35 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe eine Frage:
Lässt sich das Integrationsverfahren von Heun dahingehend
modifizieren, dass es die Lösung von DGLs der Form [mm]\ddot y=g(\dot y)[/mm]
numerisch approximiert?
(Nebenbedingung ist [mm]\dot y(0)=0[/mm])
Für [mm]\ddot y=-\omega^2y\Rightarrow y=rsin(\omega x+\phi)[/mm]
Bitte nur Tipps, keine Lösung.
Gruß
Kay
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Mi 01.08.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
schreib die DGL 2'ter Ordnung als ein System 1'ter Ordnung um und wende das Verfahren von Heun auf das System von DGL an.
Außerdem brauchst Du zwei Anfangsbedingung, z.B. [mm] y(0)=y_0 [/mm] und [mm] \dot{y}(0)=0 [/mm] und nicht nur eine.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Mi 01.08.2012 | | Autor: | kaju35 |
Also,
ich habe die DGL [mm]\ddot y=g(\dot y)[/mm]
Konkret handelt es sich um [mm]g(x)=-sin(atan(2\dot f(x)))[/mm]
Das kann ich umwandeln in ein System zweier
DGLs erster Ordnung :
[mm]\dot v_0 = v_1 =:g_0[/mm]
[mm]\dot v_1 = g(v_0)=-sin(atan(2\dot f(v_0)))=:g_1[/mm]
Die Anfangsbedingungen sollen gegeben sein - sagen
wir einfach mal [mm]y(0)=y_0[/mm] und [mm]\dot y(0)=dy_0[/mm]
Mit Heun ist [mm]\vec v_{n+1}=\vec v_n+\bruch{h}{2}(\vec g(\vec v_n)+\vec g(\vec v_n+h\vec g(\vec v_n)))[/mm]
Der zeitliche Verlauf der Trajektorie könnte eventuell
[mm]y(t)=v_1(t)[/mm] sein
Sind meine Überlegungen so weit richtig?
Gruß
Kai
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Do 02.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich verstehe dein Problem nicht ganz:
einerseits schreibst du $ [mm] \ddot y=g(\dot [/mm] y) $
das ist eine Dgl erster Ordnung für [mm] \dot [/mm] y)=v
also [mm] \dot [/mm] v)=g(v) die du lösen kannst mit Heun oder Euler oder Runge Kutta y ist dann ein einfaches Integral.
andererseits schreibst du $ [mm] g(x)=-sin(atan(2\dot [/mm] f(x))) $
mit einem unbekannten $ [mm] \dot [/mm] f(x) $ soll das [mm] \dot [/mm] f(x)dein [mm] \dot [/mm] y sein?
dein System: warum [mm] v1=g_0 [/mm] was ist [mm] g_0, [/mm] und bei [mm] \dotv_1 [/mm] versteh ich noch immer [mm] \dot [/mm] f nicht.
Ausserdem scheint deine formel Euler und nicht Heun zu sein?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Do 02.08.2012 | | Autor: | kaju35 |
Da hast du Recht. Ich habe zwei Sachen durcheinander
gewürfelt. Zum einen [mm]\ddot y=g(\dot y)[/mm] und zum anderen [mm]\ddot y=g(\dot f(y))[/mm]
Was ich meine ist jedenfalls die letztere Version. Und um
das zu lösen, muss ich ein Gleichungssystem erster
Ordnung mit zwei Gleichungen aufstellen, oder?
Ich denke schon, dass es Heun ist. Euler wäre ja einfach
[mm]\vec v_{n+1}=\vec v_n+h\vec g(\vec v_n)[/mm].
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Do 02.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh noch immer nicht, was [mm] \cdot [/mm] f sein soll, wenn f bekannt ist meinst du [mm] f'{y}*\cdot [/mm] y ?
Dann ist dein System richtig, aber Euler und nicht Heun und was soll dann [mm] g_0 [/mm] und [mm] g_1 [/mm] sein?
Du kannst auch direkt
$ [mm] \dot [/mm] y $
[mm] \dot y_{n+1}=\dot y_n+h*g(\dot [/mm] f(y(n))
[mm] y_{n+1}= y_n+h*\dot y_n+h^2/4*g( \dot [/mm] f(y(n))
der letzte Summand ist optional
oder, näher an Heun
[mm] y_{n+1}=y_n+ h*(\dot y_{n+1}+\dot y_n)/2
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Fr 03.08.2012 | | Autor: | kaju35 |
Hallo leduart,
[mm]g_0[/mm] und [mm]g_1[/mm] vergisst Du am Besten.
Mir ist aufgefallen, dass Du des öfteren [mm]\cdot y[/mm] statt [mm]\dot y[/mm]
schreibst. Das finde ich ein wenig verwirrend.
Und in Deiner letzten Gleichung "$ [mm] y_{n+1}=y_n+ (\cdot y_{n+1}+\cdot y_n)/2 [/mm] $"
finde ich kein [mm]h[/mm] oder [mm]\delta[/mm].
Trotzdem Danke so weit für Deine Hilfe.
Gruß
Kai
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Fr 03.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast recht, ich habs in vorigen post vergessen und den falschen Punkt benutzt, jetzt sollte es richtig sein, allerdings mag das f in g den dot nicht, den musst du dir dazudenken.
Gruss leduart
|
|
|
|
