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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Di 02.06.2009 | | Autor: | Allysia |
| Aufgabe | Ein Sparer zahlt jeden Monat 10 Euro auf ein Sparkonto ein, um nach einem Jahr einen Betrag
von mindestens 150 Euro zur Verfuegung zu haben. Das Vermoegen auf dem Konto werde am Ende
eines jeden Monats mit einem (gleichbleibenden) Zinssatz p verzinst.
1. Leiten Sie eine Bestimmungsgleichung F(p) = 0 fuer den Zinssatz p und daraus eine
Fixpunktabbildung Phi(p) her. Dabei soll keine Ableitung verwendet werden. Ist jede
solche Fixpunktabbildung Phi kontraktiv?
2. Berechnen Sie mit dem Newtonverfahren einen monatlichen Zinssatz, der zum Erreichen
des Sparziels noetig ist. Das Abbruchkriterium sei [mm] \parallel [/mm] p( k ) - p( k-1 [mm] )\parallel [/mm] 2 ≤ [mm] 10^{-6}, [/mm] der
Startpunkt p(0) = 3%.
3. Warum eignen sich Zinssaetze p(0) < 1% nicht als Startpunkte?
Hinweis: Stellen Sie die Funktion F(p) graphisch dar. |
Die Frage wurde in keinem anderen Forum gestellt.
Hi,
ich habe folgendes Grundproblem bei der Aufgabe:
Die allgemeine Zinsformel, die mir bekannt ist lautet:
Endkapital = Startkapital * (1 + [mm] \bruch{p}{100})^{n} [/mm] wobei n die Anzahl der Jahre und p der Zinssatz ist.
Es handelt sich also um jährliche Verzinsung. Dies auf Monate übertragen wäre ebenfalls das selbe, nur eben mit p als monatlichen Zinssatz und n dann Anzahl der Monate.
Das Problem ist nun das der Sparer aber nicht ein Startkapital hat, sondern dieses Startkapital sich monatlich wechselt.
Zusätzlich sollen natürlich die Zinseszinsen berücksichtigt werden.
Daher kam ich auf folgende rekursive Formel für jeden Monat :
[mm] K_{2} [/mm] = ( [mm] K_{1} [/mm] + [mm] K_{0} [/mm] ) * (1 + [mm] \bruch{p}{100})
[/mm]
Startwerte: [mm] K_{1} [/mm] = 10 ; [mm] K_{0} [/mm] = 0
[mm] K_{1} [/mm] wäre dabei laut Beispiel immer 10 Euro (eben die neue Einzahlung) und [mm] K_{0} [/mm] entspricht dem Vormonat incl. Zinsen.
Leider kann ich aber aus dieser rekursiven Formel keine Funktion formen, um eben die Bestimmungsgleichung zu erhalten (und somit eben auch den Rest der Aufgabe nicht bearbeiten).
Für Ideen zum weiteren Vorgehen (oder auch nem komplett anderen Vorgehen) wäre ich sehr dankbar.
Mfg Allys
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Di 02.06.2009 | | Autor: | Josef |
Hallo,
[mm] 10*\bruch{(1+\bruch{i}{12})^{12} -1}{\bruch{i}{12}} [/mm] = 150
Viele Grüße
Josef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Di 02.06.2009 | | Autor: | Allysia |
Erstmal Danke für die Formel, aber dazu hab ich dann auch gleich wieder 2 fragen :P
1. Warum steht im Zähler "-1"
2. Warum wird der Jahreszins (oder besser gesagt, die Neueinzahlung + Zinsen - aufgeteilt in 12 Monate) durch [mm] \bruch{i}{12} [/mm] geteilt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Di 02.06.2009 | | Autor: | Josef |
Hallo,
> Erstmal Danke für die Formel, aber dazu hab ich dann auch
> gleich wieder 2 fragen :P
>
> 1. Warum steht im Zähler "-1"
>
wegen Reihengesetz
> 2. Warum wird der Jahreszins (oder besser gesagt, die
> Neueinzahlung + Zinsen - aufgeteilt in 12 Monate) durch
> [mm]\bruch{i}{12}[/mm] geteilt.
wegen monatlicher Verzinsung.
i = nominal; z.B 3 % p.a.
oder du teils nicht durch 12. Dann musst du das Ergebnis noch entsprechend umrechnen.
Viele Grüße
Josef
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