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Forum "Analysis des R1" - Mod. Besselfunktion 1.&2. Art
Mod. Besselfunktion 1.&2. Art < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Mod. Besselfunktion 1.&2. Art: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:44 Do 19.08.2010
Autor: Denny22

Hallo an alle Bessel-Spezialisten,

ich habe auf der Wolfram Seite gelesen, dass Folgendes gelten soll: Seien [mm] $n\in\IZ$ [/mm] und [mm] $z\in\IC$, [/mm] dann gilt

    [mm] $K_n(z)\approx\left(\frac{\pi}{2}\right)^{\frac{1}{2}}e^{-z}z^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{e^{-z}}{\sqrt{z}}$ [/mm]  für  [mm] $|z|\rightarrow\infty$ [/mm]                       (1)

wobei [mm] $K_n(z)$ [/mm] die modifizierte Besselfunktion 2. Gattung/Art ist, d. h.

    [mm] $K_n(z):=\lim_{\nu\to n,\nu\not\in\IZ}K_{\nu}(z):=\lim_{\nu\to n,\nu\not\in\IZ}\frac{\pi}{2\sin(\pi\nu)}\left(I_{-\nu}(z)-I_{\nu}(z)\right)$ [/mm]                  (2)

und [mm] $I_{\nu}(z)$ [/mm] die modifizierte Besselfunktion 1. Gattung/Art ist, d. h.

    [mm] $I_{\nu}(z):=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^{2k+\nu}}{\Gamma(k+n+1)k!}$. [/mm]                                        (3)

Setze ich die Definition aus (3) in (2) ein, so komme ich auf

    [mm] $K_n(z)=\lim_{\nu\to n,\nu\not\in\IZ}\frac{\pi}{2}\frac{1}{\sin(\pi\nu)}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^{2k}}{\Gamma(k+n+1)k!}\right)\left[\left(\frac{z}{2}\right)^{-\nu}-\left(\frac{z}{2}\right)^{\nu}\right]$ [/mm]

Aber wie erhalte ich einen Ausdruck der Form (1)? Ich wäre über jede Hilfe dankbar. Auch wenn jemand mir speziell zu der Abschätzung (1) einen Literaturhinweis geben könnte.

Vielen Dank

        
Bezug
Mod. Besselfunktion 1.&2. Art: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:47 Di 24.08.2010
Autor: rainerS

Hallo!

Bei Wolfram Mathworld findest du nur die wichtigsten Informationen zu speziellen Funktionen. Wenn du es genau wissen willst, schaust du in das Buch von Abramowitz/Stegun (Literaturverweise zu Besselfunktionen findest du []hier) und die NIST Digital Library of Mathematical Functions (Besselfunktionen []hier, asymptotische Entwicklungen []hier bzw. []hier, die modifizierten Besselfunktionen 2. Art sind bis auf einen Faktor die Hankelfunktionen.).

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
Mod. Besselfunktion 1.&2. Art: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:35 Do 09.09.2010
Autor: Denny22

Vielen Dank fuer die Hinweise. Diese haben mir sehr weitergeholfen.

Bezug
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