Mittlere kinetische Energie < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Fadenpendel der Länge l und der Masse m wird um den Winkel [mm] \theta_{0} [/mm] aus der Gleichgewichteslage [mm] \theta [/mm] = 0 gebracht und dann mit der Geschwindigkeit [mm] v_{0} [/mm] = 0 losgelassen.
Berechnen Sie die über eine Periode gemittelte potentielle und kinetische Energie.
Das Ergebnis [mm] [/mm] = [mm] [/mm] ist als Virialsatz bekannnt. |
Hallo!
Bei dieser Hausaufgabe bleibe ich leider stecken.
Ich habe die mittlere potentielle Energie berechnet und als Ergebnis
[mm] [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}m\omega^{2}\phi_{0}^{2} [/mm] erhalten, mit [mm] \phi_{0} [/mm] = [mm] \theta_{0}l.
[/mm]
Das Problem ist, dass ich bei der mittleren kinetischen Energie einen anderen Wert erhalte, und ich weiss nicht wo der Fehler ist.
Ich vermute aber, dass bei der kinetischen Energie nicht stimmt.
Darum hier meine Überlegungen:
T ist die Zeit, die das Pendel für eine Periode benötigt, also T = [mm] \bruch{2\pi}{\omega}.
[/mm]
[mm] \phi [/mm] sei gleich [mm] \theta_{}l, [/mm] also gleich der Strecke, die das Pendel zurücklegt wenn es um den Winkel [mm] \theta [/mm] ausgelenkt wird.
Dann legt das Pendel in der Zeit T 4-mail die Strecke [mm] \phi_{0} [/mm] zurück:
Das erste Mal vom Punkt der größten Auslenkung bis zum Nullpunkt, dann nochmal beim Wiederhochschwingen auf der anderen Seite, und dann noch 2-mal auf dem Rückweg.
Somit ist <v> = [mm] \bruch{2\phi_{0}}{T},
[/mm]
also folgt [mm] [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}m [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}m \bruch{16\phi_{0}^2}{\bruch{4\pi^2}{\omega^{2}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{8m\phi_{0}^2}{\bruch{4\pi^2}{\omega^{2}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{2m\omega^{2}\phi_{0}^2}{\pi^2}
[/mm]
Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand sagen könnte, ob ich hier einen Fehler gemacht habe.
Falls nicht poste ich hier nochmal meine Rechnung zur potentiellen Energie, die muss dann ja falsch sein.
Vielen Dank im Vorraus :)
Benjamin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Do 03.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
so kannst du die mittlere Energie nicht ausrechnen
mittlere kin [mm] Energie:m/2T*\integral_{0}^{T}{v(t)^2 dt}
[/mm]
die Geschwindigkeit hängt ja nicht linear mit der Zeit zusammen, dashalb ist deine Rechnung falsch. und ausserdem ist das Mittel von [mm] v^2 [/mm] ungleich dem Quadrat des Mittels von v.
Gruss leduart
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Hallo!
Ersteinmal vielen Dank für deine Hilfe! Ich bin da echt dran verzweifelt.
Ich hab jetzt als Ergebnis [mm] \bruch{m\phi_{0}^{2}\omega^{2}}{4} [/mm] für die mittlere kinetische Energie.
Da ich für die potentielle Energie [mm] \bruch{m\phi_{0}^{2}\omega^{2}}{2} [/mm] herausbekommen habe, hab ich da nocheinmal meine Rechnungen durchgeguckt und dabei einen Fehler gefunden, der mich verwirrt:
Die potentielle Energie ist:
[mm] \bruch{l\theta_{0}^2}{2T}\integral_{0}^{T}{cos^{2}(\omega*t)dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{l\theta_{0}^2}{2T} [/mm] * [mm] \bruch{2T\omega + sin(2T\omega)}{4\omega}
[/mm]
Beim mathematischen Pendel benutzt man die Näherung [mm] sin(\phi) [/mm] = [mm] \phi
[/mm]
für kleine Winkel [mm] \phi.
[/mm]
Wenn ich das oben auf den Sinus anwende erhalten ich als potentielle Energie [mm] \bruch{m\phi_{0}^{2}\omega^{2}}{2} [/mm] .
Wenn ich aber rechne [mm] sinus(2T\omega) [/mm] = [mm] sin(2\bruch{2\pi}{\omega}\omega) [/mm] = [mm] sin(4\pi) [/mm] = 0
erhalte ich das gleiche Ergebnis wie bei der kinetischen Energie, also [mm] \bruch{m\phi_{0}^{2}\omega^{2}}{4}.
[/mm]
Wie kann es sein, dass das Ergebnis vom Rechenweg abhängt?
Ich würde mich freuen wenn mir da jemand weiterhelfen könnte :)
Viele Grüße,
Benjamin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Fr 04.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie hast du integriert:
Du hast [mm] \integral_{0}^{T}{fcos^2(\omega*t) dt}=T/2 [/mm] exakt und ohne Näherung.
entsprechend bei der kon Energie kommt [mm] \integral_{0}^{T}{fsin^2(\omega*t) dt}=T/2 [/mm] raus.
Die beiden Integrale sind also gleich, die Vorfaktoren auch.
also versteh ich deine Rechnung nicht.
Das [mm] \omega*t [/mm] hat doch nichts mit oder 2T hat doch nix mit der Kleinwinkelnäherung zu tun, das gibt doch kenen Winkel, sondern nen zeitverlauf des Winkels an.
Gruss leduart
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[mm] [/mm] = [mm] \bruch{m}{2T}\integral_{0}^{T}{\phi'^2(t) dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{m}{2T}\integral_{0}^{T}{l^{2}\theta_{0}^{2}\omega^{2}sin^{2}(\omegat) dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{l^{2}\theta_{0}^{2}\omega^{2}}{2T}\integral_{0}^{T}{sin^{2}(\omegat) dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{l^{2}\theta_{0}^{2}\omega^{2}}{2T}*\bruch{T}{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{m\phi_{0}^{2}\omega^{2}}{4}
[/mm]
Zur potentiellen Energie:
<E_pot> = mg [mm] \bruch{1}{T}\integral_{0}^{T}{h(t) dt}
[/mm]
wobei h(t) die Höhe des Pendels ist, gemessen von der tiefsten Stelle.
Es gilt h(t) = l(1 - [mm] cos(\theta)) [/mm] = [mm] l*2*sin^{2}(\bruch{\theta}{2}) [/mm] (trigonometrische Identität)
= [mm] \bruch{l\theta^{2}}{2} [/mm] (lineare Näherung des Sinus)
= [mm] \bruch{l\theta_{0}^{2}cos^{2}(\omega{}t)}{2}
[/mm]
letztes durch Einsetzen von [mm] \theta(t) [/mm] = [mm] \theta_{0}cos(\omega{}t)
[/mm]
Nun ist
[mm] \bruch{1}{T}\integral_{0}^{T}{h(t) dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{l\theta_{0}^{2}}{2T}\integral_{0}^{T}{cos^{2}(\omega{}t) dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{l\theta_{0}^{2}}{2T} [/mm] * [mm] \bruch{T}{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{l\theta_{0}^{2}}{4}
[/mm]
Also folgt
[mm] [/mm] = [mm] mg\bruch{l\theta_{0}^{2}}{4} [/mm] = [mm] \bruch{m\bruch{g}{l}\phi_{0}^{2}}{4} [/mm] = [mm] \bruch{m\omega^{2}\phi_{0}^{2}}{4}
[/mm]
Ist das jetzt richtig?
Ich hab jetzt verstanden was mich vorhin verwirrt hat.
Die Frage entstand dadurch, dass ich das Integral [mm] \integral_{0}^{T}{cos^{2}(\omega{}t) dt} [/mm] mit WolframAlpha gelöst hab.
Das Programm hat natürlich nichts davon gewusst, dass es eine Relation zwischen T und [mm] \omega [/mm] gibt, und hat mit dann als Ergebnis [mm] \bruch{2T\omega + sin(2T\omega)}{4\omega} [/mm] ausgegeben.
Natürlich ist [mm] sin(2T\omega) [/mm] = [mm] sin(4\pi) [/mm] = 0.
Ich dachte aber, hier müsste man wieder die lineare Näherung des Winkels anwenden, und dann [mm] sin(2T\omega) [/mm] durch [mm] 2T\omega [/mm] ersetzen.
Dadurch kriegt man dann die 2 als Faktor noch dazu, und das Ergebnis ist doppelt so groß wie es sein sollte.
Diese Näherung darf man hier aber nicht benutzen, da wir da ja keinen Winkel der Schwingung betrachten, sondern der Sinus nur rechnerisch bei der Lösung des Integrals auftaucht.
Vielen Dank für deine schnelle Hilfe :)
Viele Grüße,
Benjamin
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