Mittelwertsatz und Grenzwert < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:56 Sa 10.12.2011 | | Autor: | marula |
| Aufgabe | Berechne folgenden Grenzwert mit Hilfe des Mittelwertsatzes:
lim sin(x)/x
x-->0 |
Der Mittelwertsatz lautet: sei f (also in meinem Fall sin(x)) stetig, was der Fall ist und differenzierbar auf (a,b). Die Sinusfunktion ist überall differenzierbar, also kann ich den MWS anwenden.
Dann existiert eine Zahl c in (a,b), sodass
f'(c) = f(b) - f(a) / (b-a)
Wenn ich die Funktion etwas anders anschreibe, erhalte ich eine Hälfte des Mittelwertsatzes:
sin(x+0) - sin(0) / (x-0)
Dies ist nun die Ableitung des Sinus an einer Stelle c, also f'(c).
Berechne ich nun den [mm] \limes_{x\rightarrow\0.0} [/mm] sin(x+0) - sin(0) / (x-0), kann ich auch schreiben:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0.0} [/mm] f'(c)
= [mm] \limes_{x\rightarrow\0.0} [/mm] cos(c)
Und hier stehe ich an- schließlich weiß ich über c nichts weiter, als dass es aus dem Intervall (a,b) ist, was mich zu keinen Einschränkungen außer c ist aus den reellen Zahlen führt.
Kann mir an dieser Stelle jemand weiterhelfen?
Liebe Grüße und Danke im Voraus!
Maria
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Maria,
mit dem erweiterten Mittelwertsatz kommst Du sofort auf das für mich als E-Techiker bekannte Ergebnis (Grenzwert der Spaltfunktion)
![[]](/images/popup.gif) Hier findest Du den dazugehörigen Tipp.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Sa 10.12.2011 | | Autor: | marula |
Hallo Infinit!
Danke für den Link, allerdings habe ich selbst schon auf Wikipedia nachgeguckt ;)
Die Frage ist ja, wie ich jetzt von diesem cos(c) auf einen eindeutigen Limes kommen kann, schließlich weiß ich bisher nur, dass mein Limes <= 1 ist....
Liebe Grüße
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:45 Sa 10.12.2011 | | Autor: | marula |
Nun weiß ich ja doch ein bisschen mehr über mein c, und zwar, dass es aus dem offenen Intervall (x,0) stammen muss.
Wenn nun der Limes das x gegen Null gehen lässt, wird dann das c zu 0?
Dann wäre meine Lösung cos(0), also 1.
Wäre dankbar für jede Hilfe, ob meine Überlegungen so stimmen, bzw. wo ich Denkfehler habe- dieses Beispiel bringt mich einfach zum Verzweifeln!
Liebe Grüße
Marula
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marula!
> Wenn nun der Limes das x gegen Null gehen lässt, wird
> dann das c zu 0?
> Dann wäre meine Lösung cos(0), also 1.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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(Frage) überfällig | | Datum: | 12:43 So 11.12.2011 | | Autor: | marula |
Hm dann bleibt nur noch die Frage offen, wie das mit dem Intervall genau (also mathematisch korrekt) aussieht.
Wenn ich von (x,0) das x gegen Null gehen lasse, bekomme ich das Intervall (0,0), oder?
Ich habe zwar ganz einfach gesagt, dann ist mein c = 0, aber ganz genau verstehe ich nicht, warum ich das "darf"?
Schließlich schließen meine runden Klammern die Null aus, also müsste das Intervall eigentlich die leere Menge { } sein... oder eben nicht?
Ist das irgend ein Spezialfall?
Liebe Grüße
Maria
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 So 11.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu jedem x [mm] \ne [/mm] 0 gibt es ein [mm] c_x [/mm] zwischen x und 0 mit:
[mm] \bruch{sinx}{x}= \bruch{sinx-sin0}{x-0}=cos(c_x)
[/mm]
Wenn x gegen 0 geht, so auch [mm] c_x
[/mm]
also [mm] cos(c_x) \to \cos(0)=1 [/mm] für [mm] x\to [/mm] 0
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 13.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 14.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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