Mittelwertsatz der Int-Rec. < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, ich habe vor ein paar Tagen schon mal eine Frage zum Mittelwertsatz gestellt, allerdings muss ich dazu einen Vortrag halten und habe deshalb noch ein paar Fragen:
1.) Wann benutzt man den Mittelwertsatz?
Sehe momentan noch keinen Grund, da man auf der rechten Seite des = Zeichens ja vorerst das Ergebnis des bestimmten Integrals einsetzt. Was bringt es mir also noch ein Rechteck mit der gleichen Fläche zu berechnen?
2.) Ist es korrekt, dass man mit dem Mittelwertsatz indirekt ein Rechteck berechnet, das die gleiche Fläche wie das Integral hat?
3.) Wer hat den Mittelwertsatz entwickelt? Finde leider keinen Ersteller, wie es sonst üblich ist. Der kann ja nicht einfach da gewesen sein, oder?
4.) Meinen Vortrag würde ich gerne nach dem Schema
1. Allgemeines, das heißt also Hinführung zum Thema, bzw. wann wird der Mittelwertsatz benutzt, anschließend 1,2 Beispielaufgaben zeigen/vorrechnen und anschließend soll die Gruppe Aufgaben lösen. Findet ihr das in Ordnung? Oder sollte ich noch etwas Wichtiges mit hinein nehmen?
Bin eigentlich top in Vorträgen, habe aber noch nie in meinem Leben einen Mathe-Vortrag gehalten^^
Ich bedanke mich schonmal im Voraus für alle Antworten von euch;)
Matze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Di 27.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo, ich habe vor ein paar Tagen schon mal eine Frage zum
> Mittelwertsatz gestellt, allerdings muss ich dazu einen
> Vortrag halten und habe deshalb noch ein paar Fragen:
>
> 1.) Wann benutzt man den Mittelwertsatz?
Er ist ein Beweismittel für die Grundlagen der Integralrechnung.
Gruß Abakus
>
> Sehe momentan noch keinen Grund, da man auf der rechten
> Seite des = Zeichens ja vorerst das Ergebnis des bestimmten
> Integrals einsetzt. Was bringt es mir also noch ein
> Rechteck mit der gleichen Fläche zu berechnen?
>
> 2.) Ist es korrekt, dass man mit dem Mittelwertsatz
> indirekt ein Rechteck berechnet, das die gleiche Fläche
> wie das Integral hat?
>
> 3.) Wer hat den Mittelwertsatz entwickelt? Finde leider
> keinen Ersteller, wie es sonst üblich ist. Der kann ja
> nicht einfach da gewesen sein, oder?
>
> 4.) Meinen Vortrag würde ich gerne nach dem Schema
>
> 1. Allgemeines, das heißt also Hinführung zum Thema, bzw.
> wann wird der Mittelwertsatz benutzt, anschließend 1,2
> Beispielaufgaben zeigen/vorrechnen und anschließend soll
> die Gruppe Aufgaben lösen. Findet ihr das in Ordnung? Oder
> sollte ich noch etwas Wichtiges mit hinein nehmen?
>
> Bin eigentlich top in Vorträgen, habe aber noch nie in
> meinem Leben einen Mathe-Vortrag gehalten^^
>
> Ich bedanke mich schonmal im Voraus für alle Antworten von
> euch;)
>
> Matze
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Ja, man kann nach dem eingültigen Einsetzten und dann Ausrechnen ja w.z.b.w drunter schreiben, sofern man richtig gerechnet hat.
anderseits lässt sich f(x0) ja auch als rechteck im gesuchten Intervall darstellen, oder?
Weiterhin habe ich im Internet gelesen, dass man den Mittelwertsatz benutzt, wenn man ein Integral nicht lösen kann. Mit dem Mittelwert würde man aber doch auf die Lösung kommen, was mir nicht wirklich bewusst ist, da man ja u.a. das bestimmte Integral in die Gleichung einsetzten muss.
Würde mich über weitere Antworten, auch im Bezug auf den Ausgangsartikel freuen.
Matze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 Mi 28.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Man muss as bestimmte Integral nicht kennen, sondern der MWS sgt grade, dass man es ungefähr ausrechnen, also abschätzen kann. das ist fast immer, wie man ihn benutzt. nicht das = im MWS ist so wichtig sondern dss man Ungleichungen hat, wenn man sttt des [mm] f(\xi) [/mm] das Minimum oder Maximum von f in dem Intervall einsetzt. In der Mathematik benutzt man sehr oft Ungleichungen, um etwas zu zeigen.
du musst also vergessen, dass man mit dem MWS etwas ausrechnen will oder kann. Wenn man as Integral explizit ausrechnen kann ist er uninteressant! Und anschaulich sagt er genau, dass es ein Rechteck gibt mit einer Länge |b-a| und einer Höhe [mm] f(\xi) [/mm] wobei [mm] \xi [/mm] zw a und b liegt. Aber natürlich kennt man [mm] \xi [/mm] nicht!
meist wird der MWS auch auf Integrale von Produkten von fkt angewendet. Machst du das ?
Gruss leduart
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Das Riemann-Integral, oder wie es heißt, haben wir im Unterricht überhaupt nicht behandelt.
Darauf einzugehen, wäre meines Erachtens zu kompliziert.
In meinem Mathebuch habe ich bspw. eine Anwendung gefunden, nämlich die Durchschnittsgeschwindigkeit eines gleichmäßig beschleunigenden Autos innerhalb der ersten 2 Sekunden zu ermitteln.
Fallen euch noch andere Anwendungsgebiete ein, wo man den Mittelwert anwenden muss/kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Mi 28.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Durchschnittsgeschw. eines gleichf. beschl. autos auszurechnen ist aber ohne MWS zu lösen.
Habt ihr über umerische Möglichkeiten gesprochen, bestimmte Integrale zu lösen ( Trapezregel, Simpsonregel sind dazu Stichworte?)
Gruss leduart
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Nein, haben wir leider (noch) nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Mi 28.04.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
1.)
Du kannst den Mittelwertsatz benutzen um zu zeigen, dass die Ableitung einer Integralfunktion die Integrandenfunktion selber ist, dass man sich also das Differenzieren wirklich als Umkehrung des Integrierens vorstellen kann.
2.)
Ja. [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=(b-a)*f(c) [/mm] mit c [mm] \in [/mm] [a,b] lautet der Satz ja. Die rechte Seite kannst du dir als Flächeninhalt eines Rechteckes vorstellen. f(c) kannst du ja leicht berechnen, wenn du die Gleichung durch (b-a) teilst.
Dazu musst du aber auch das Integral lösen können.
3.)
Weiß auch nicht, wer den erfunden hat. Vielleicht waren auch mehrere Personen dran beteiligt. Also jeder hat ein bisschen was entdeckt und irgendwer hat daraus dann den Mittelwertsatz geschustert.
4.)
Finde ich ok, aber ich bin kein Vortrags-Ass. Wie lange soll der Vortrag denn überhaupt gehen?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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zu 1.) ok, und wie mache ich das?
zu 4.) naja, vortrag allgemein wahrscheinlich so ca. 15 minuten. da drin enthalten sind aber wie gesagt die erläuterungen zu den beispielfaugaben, die vorgehensweise und auch noch die übungsaufgaben, die die anderen schüler lösen sollen. wenn sie länger brauchen sollten, werdens vielleicht auch 20 oder 25 minuten. darüber hinaus wird es denke ich mal nicht gehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Mi 28.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] F(x)=\integral_{a}^{x}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] F(x+h)-F(x)=\integral_{x}^{x+h}{f(x) dx}=h*f(\xi) [/mm] mit [mm] \x\le\xi\le [/mm] x+h
also hier den MWS angewendet.
jetzt [mm] F'(x)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{F(x+h)-F(x)}{h}=
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow 0}f(\xi)=f(x)
[/mm]
so einfach ist das, du musst natürlich erklären, dass wenn h gegen 0 geht, [mm] \xi [/mm] nichts überbleibt als x zu werden weil es ja zw. x und x+h liegt.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Mi 28.04.2010 | | Autor: | gfm |
Einfach mal suchen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Analysis
http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Integralrechnung
http://www.oberprima.com/index.php/mittelwertsatz-der-integralrechnung/nachhilfe
http://www3.ext.tu-freiberg.de/~wwwfk/highlights/projektwoche/mathematik/die_geschichte_der_differentialr.htm
LG
gfm
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Danke, 3 von 4 Seiten kannte ich schon (durch Oberprima habe ich es bspw. verstanden)
allerdings hatten wir das riemann-integral noch nicht im unterricht und wikipedia ist meiner ansicht nach nicht die beste quelle für mathematische problemstellungen im internet. das ist bei denen immer so hochwissenschaftlich, zumindest teilweise.
Anwendungsgebiete und ähnliches konnte ich auf besagten Seiten dennoch nicht finden. Aus dem Grund habe ich hier gefragt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Mi 28.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da du Integralrechnung kennst kennst du das Riemann integral, das ist die genauere Bezeichnung des Integrals, das du kennst, also der Grenzwert von treppenfunktionen. stör dich also an dem Namen nicht.
Anwendungen sind hauptsächlich Abschätzungen von bestimmten Integralen, und Beweise.
für viele Funktionen kennt man ja keine Stammfunktion, wenn man dann numerische Verfahren nimmt, muss man immer sagen, wie genau sie jetzt mindestens sind. dabei hilft der MWS.
Gruss leduart
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uuh, also soweit sind wir im unterricht leider noch nicht.
wir sind gerade bei substitution und bislang war jedes integral, teilweise durch kombinationen aus substitution und produktintegration, lösbar.
sowas geht für diesen vortrag, glaube ich zumindest, zuweit in die tiefe der materie.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:14 Do 29.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie habt ihr denn das Integral eingeführt? Und woher wisst ihr, dass dda Integral die umkehrung der ableitung ist?
Hast du den Beweis verstanden?
welche Fragen sind jetzt noch offen?
Gruss leduart
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wie wir das eingeführt haben? am anfang zeichnerisch mit balken-methode etc. dann die integrationsregeln und dann haben wir losgelegt.
welche frage offen ist: wofür benutzt man das integral, außer für den beweis, das integralrechnung das gegenteil von differentialrechnung ist.
ein beispiel aus meinem buch nannte ich ja schon. die berechnung einer durchschnittsgeschwindigkeit, oder auuch die berechnung der durchschnittlichen länge der kabel, die eine hängebrücke halten.
meine frage war, was für beispiel und anwendungsgebiete solcher art gibt es noch?
mittelwert hat ja nunmal etwas mit dem arithmetischen mittel zu tun, mit dem man einen durchschnitt errechnet.
im buch ist also bspw. eine brücke mit 100m länge gegeben. das kürzeste kabel ist 5 m lang, das längste 30m. jeden meter, ist so ein kabel an der brücke. mit hilfe des mittelwertsatzes, konnte man dann die durchschnittliche länge der kabel, nämlich 13,3 m berechnen (vorher musste man selbstverständlich die parabelfunktion herausbekommen)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:37 Do 29.04.2010 | | Autor: | seamus321 |
vielleicht hilft dir diese kleine Seite noch ein wenig weiter! Ist meiner Meinung nach recht anschaulich gemacht.
http://home.arcor.de/enibuddy/mathe/mittel0.htm
Viele Grüße Seamus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Do 29.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nochmal, wieso man den Mittelwertsatz benutzt um ne durchschnittliche Lnge oder Geschw. auszurechnen versteh ich nicht
Inzwischen glaub ich dass wir über 2 verschiedene Ding reden.
a)es gibt den MWS der sagt:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=(b-a)*f(\xi) [/mm] mit einem [mm] \xi [/mm] aus (a,b)
b) man berechnet den Mittelwert einer Funktion,also einer Größe die sich kontinuierlich ändert als :
[mm] \overline{f}=1/(b-a)*\integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
das hat aber nichts mit dem Mittelwertsatz zu tun.
Um was geht es dir jetzt?
der Mittelwertsatz sagt dann allerdings dass dieser Mittelwert im Intervall (a,b) auch mindestens einmal angenommen wird.
also wenn du die Durchschnittsgeschw. ausrechnest aus v(t) zwischen t=0 und t1 dann ist in irgendeinem Moment zwischen 0 und t1 auch die Momentangeschw. gleich der berechneten Durchschnittsgeschw.
Dieser Mittelwert wird sehr viel verwendet, z. Bsp um Schwerpunkte von Flächen und Körpern zu bestimmen, um den effektiven Strom und Spannung auszurechnen, wenn man Wechselstrom hat. um durchschnittliche leistungen zu ermitteln , dafür gibts also endlos viele Beispiele.
Gruss leduart
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Top!! Jetzt hab ich endlich das was ich wollte
Antwort b) ist die richtige.
Anscheinend ist das in meinem Mathebuch dann falsch deklariert.
Ich geb euch mal die Definition vom Lehrbuch:
Satz VII.1: Mittelwerrtsatz der Integralrechnung
Ist die Funktion f auf [a;b] stetig, so gibt es ein [mm] x_{0} [/mm] element ]a;b[ mit
[mm] f(x_{0}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{b-a} [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
So lautet das in meinem Lehrbuch. Dank dir habe sind meine Fragen nun beantwortet.
Vielen Dank nochmal, auch an die anderen. Das ihre Lösungen in meinem Fall nicht ins Schwarze getroffen haben, ist ja nicht eure Schuld, sondern ein Fehler in der Deklaration im Lehrbuch und folglich eine falsche Fragestellung meinerseits.
Matze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Do 29.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein das ist der richtige MWS nicht die Berechnung des MW.
denn
$ [mm] f(x_{0}) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{b-a} [/mm] $ * $ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] $
ist das gleiche wie
$ [mm] (b-a)*f(x_{0}) [/mm] $ = $ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] $
und die haben [mm] x_0 [/mm] geschrieben statt wie ich [mm] \xi
[/mm]
Damit bleibt aber immer noch, dass deine "Anwendungsaufgaben"
den Mittelwert einer fkt. im Intervall [a,b] ausrechnen, und nicht Anwendungen des MWS sind.
eine direkte Anwendung sind nimals Rechnungen, wie die die du erwähnt hast. Nur in dem Sinne wie ich schon erzählt habe, der MWS wie oben saft, dass der Mittelwert irgendwo in dem Intervall angenommen wird.
angenommen du fährst mit der Geschw. v(t)=2m/s*sin(t*1/s)
und willst deine Durchschnittsgeschw während der ersten 2s wissen. dann hast du
[mm] 1/2s*\integral_{0}^{2s}{2*sin(t) dt}=1/2*[-2m/s*cos(t)]_0^2= [/mm] 1/2*(-2cos(2)+2cos(0))=1.2m/s
der MWS sagt jetzt, dass du garantiert irgendwann 1.2m/s gefahren bist.
Also noch mal genau:
mit Integralen kann man Mittelwerte ausrechnen, das hat nix mit dem MWS zu tun.
Der MWS ist ein abstrakter Satz, der etwas über Intgrale aussagt, aber kene "Rechenanwendungen" hat. man kann allerdings ohne ihn praktisch keinerlei Beweise führen, d.h. er ist wie der MWS der Differentialrechnung ein sehr wichtiges Beweismittel
siehe als Bsp den Beweis dass die ableitung der integralfkt, die Inteegrandenfkt ist.
Ohne das könntet ihr ja gar nicht integrieren.(denn ihr sucht doch immer "Stammfunktionen)
Gruss leduart
Gruss leduart
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ok, geht in ordnung.
dann hat sich meine lehrerin falsch ausgedrückt.
sie sagt thema des vortrages soll der mittelwertsatz sein.
als ich sie auf eure antworten drauf ansprach, sagte sie: ja, das ist korrekt, aber es reicht, wenn ich im vortrag als anwendungsgebiet die durchschnittswertberechnung angebe. der rest sei momentan noch unrelevant.
also, danke an alle ;)
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