Mittelwertsatz d. Diff.rechn. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Sa 26.07.2014 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Zeigen Sie unter Verwendung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung, dass folgendes gilt:
[mm] \forall x,y\in\IR_{0}^{+}x>y: \bruch{x-y}{x} |
Also ich habe das wie folgt gemacht:
Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung lautet:
Sei [mm] f:[a,b]\to\IR [/mm] stetig und in ]a,b[ differenzierbar, dann:
[mm] \exists c\in]a,b[:f'(c)=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}
[/mm]
In unserem Fall ist f=ln. Auf ln treffen obige Voraussetzungen für [mm] x,y\in\IR_{0}^{+} [/mm] zu, also gilt:
[mm] \exists c\in]y,x[:ln'(c)=\bruch{1}{c}=\bruch{ln(\bruch{x}{y})}{x-y}\gdw\bruch{x-y}{c}=ln(\bruch{x}{y})
[/mm]
Da [mm] c\in]y,x[:y\bruch{1}{c}>\bruch{1}{x}\gdw\bruch{1}{x}<\bruch{1}{c}<\bruch{1}{y}\gdw\bruch{x-y}{x}<\bruch{x-y}{c}=ln(\bruch{x}{y})<\bruch{x-y}{y}
[/mm]
Da x-y>0 ändern sich die Ungleichheitszeichen nicht.
Stimmt das so?
Danke im Voraus
[mm] b^{2}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Sa 26.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie unter Verwendung des Mittelwertsatzes der
> Differentialrechnung, dass folgendes gilt:
> [mm]\forall x,y\in\IR_{0}^{+}x>y: \bruch{x-y}{x}
>
> Also ich habe das wie folgt gemacht:
> Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung lautet:
> Sei [mm]f:[a,b]\to\IR[/mm] stetig und in ]a,b[ differenzierbar,
> dann:
> [mm]\exists c\in]a,b[:f'(c)=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}[/mm]
> In unserem
> Fall ist f=ln. Auf ln treffen obige Voraussetzungen für
> [mm]x,y\in\IR_{0}^{+}[/mm] zu, also gilt:
>
> [mm]\exists c\in]y,x[:ln'(c)=\bruch{1}{c}=\bruch{ln(\bruch{x}{y})}{x-y}\gdw\bruch{x-y}{c}=ln(\bruch{x}{y})[/mm]
>
> Da
> [mm]c\in]y,x[:y\bruch{1}{c}>\bruch{1}{x}\gdw\bruch{1}{x}<\bruch{1}{c}<\bruch{1}{y}\gdw\bruch{x-y}{x}<\bruch{x-y}{c}=ln(\bruch{x}{y})<\bruch{x-y}{y}[/mm]
> Da x-y>0 ändern sich die Ungleichheitszeichen nicht.
>
> Stimmt das so?
Ja, alles bestens.
FRED
>
> Danke im Voraus
>
> [mm]b^{2}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:51 Sa 26.07.2014 | | Autor: | bquadrat |
Vielen Dank :)
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