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Hallo,
Ich habe folgendes Problem: Ich soll Grenzwerte mit Hilfe des Mittelwertsatzes bestimmen.
Den Mittelwertsatz habe ich soweit verstanden, jedoch verstehe ich nicht den Zusammenhang, den dieser mit dem Grenzwert einer Funktion hat.
Aus dem Mittelwertsatz kann man feststellen ob die Funktion konstant, monoton steigend oder monoton fallend ist. Das habe ich soweit auch verstanden, aber inwiefern kann ich damit den exakten Grenzwert bestimmen?
Ich kann ja zum Beispiel eine Funktion haben die durch die 2 nach oben beschränkt ist aber dennoch monoton steigend ist....
Vielleicht kann mich ja jemand auf den richtigen Weg bringen 
Liebe Grüße
PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Sehr wohl aber bereits gelesen und leider immer noch nix verstanden.
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Hallo Blubberdiblubb, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Vorab: wir reden hier gerade vom Mittelwertsatz der Differentialrechnung, richtig?
> Ich habe folgendes Problem: Ich soll Grenzwerte mit Hilfe
> des Mittelwertsatzes bestimmen.
Siehe oben.
> Den Mittelwertsatz habe ich soweit verstanden, jedoch
> verstehe ich nicht den Zusammenhang, den dieser mit dem
> Grenzwert einer Funktion hat.
Er erlaubt eine Abschätzung (wie übrigens auch der Mittelwertsatz der Integralrechnung).
> Aus dem Mittelwertsatz kann man feststellen ob die Funktion
> konstant, monoton steigend oder monoton fallend ist.
Wenn das die einzigen drei Möglichkeiten sind, ja. Sonst: nein.
> Das
> habe ich soweit auch verstanden, aber inwiefern kann ich
> damit den exakten Grenzwert bestimmen?
Gar nicht.
> Ich kann ja zum Beispiel eine Funktion haben die durch die
> 2 nach oben beschränkt ist aber dennoch monoton steigend
> ist....
>
> Vielleicht kann mich ja jemand auf den richtigen Weg
> bringen
Gib mal eine Beispielaufgabe, die wir dann durchkauen können.
> Liebe Grüße
>
> PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Sehr wohl aber bereits gelesen und leider immer noch nix
> verstanden.
Grüße
reverend
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| Aufgabe | | Der Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n*(1-cos(\bruch{1}{n})) [/mm] existiert. Bestimme ihn. |
Danke für deine rasche Antwort
Ja wir sprechen über den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Ich hab zu der Aufgabe leider noch keinen Lösungsansatz, da ich wie gesagt gar nicht so recht verstehe was ich überhaupt machen soll.
Liebe Grüße
Blubb
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Hallo nochmal,
da bin ich immer noch etwas ratlos. Der Grenzwert ist 0 und leicht ohne MWS oder l'Hôpital zu bestimmen. Einfach [mm] x=\tfrac{1}{n} [/mm] substituieren, [mm] f(x)=\tfrac{1}{x}(1-\cos{x}) [/mm] definieren und [mm] \tfrac{f(x)+f(-x)}{2} [/mm] für [mm] x\to{0} [/mm] betrachten.
Ich überleg nochmal...
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:09 Do 26.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Blubb und !
Wir setzen
[mm] f(x):=-\cos(x)
[/mm]
[mm] $\Rightarrow f'(x)=\sin(x)$.
[/mm]
Mit dem Differenzenquotient an der Stelle
[mm] $x:=0\$ [/mm] und [mm] h:=\frac{1}{n}
[/mm]
existiert nach dem Mittelwertsatzes ein [mm] \xi_n\in(0,\frac{1}{n}), [/mm] sodass gilt:
[mm] f'(\xi_n)=\sin(\xi_n)=\frac{1-\cos(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}=n\left(1-\cos(\frac{1}{n})\right).
[/mm]
Jetzt wieder du!
Alternativ kannst du auch an
[mm] f(x):=n*\cos(x)
[/mm]
direkt den Mittelwertsatz anwenden:
[mm] f'(\xi)*\frac{1}{n}=f(0)-f(\frac{1}{n}) [/mm] für ein [mm] \xi\in(0,\frac{1}{n}).
[/mm]
Jetzt wieder du!
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:54 Do 26.06.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo DieAcht,
ich bin blind... Danke!
Grüße
rev
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Hallo DieAcht
Ich habe mir deine Rechnung mal auf Papier aufgeschrieben und nach wie vor ist mir leider nicht klar was ich da gemacht habe, also doch, was ich gemacht hab ist mir klar, aber inwiefern löst es meine Aufgabe?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n*(1-cos(\bruch{1}{n})
[/mm]
f(x)=-cos(x)
Wie kommst du auf -cos(x)?
f'(x)=sin(x)
Klar.
Mit dem Differenzenquotienten an der Stelle x:=0 und [mm] h=\bruch{1}{n}
[/mm]
Warum 0 und [mm] \bruch{1}{n}?
[/mm]
Ich denke es ist kein Zufall dass h für n gegen unendlich zu null konvergiert, spontan fällt mir da nur das dazu ein:
f'(x)= [mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h} [/mm]
was in diesem Fall = sin(x0) wäre.
Hoffe ich tappe jetzt nicht ganz auf dem Holzweg.
Nun gehts weiter ich habe die genannten Grenzen eingesetzt:
[mm] f'(\varepsilon)= sin(\varepsilon)=\bruch{f(0+\bruch{1}{n})-f(0)}{\bruch{1}{n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-cos(0+\bruch{1}{n})-(-cos(0)}{\bruch{1}{n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1-cos(\bruch{1}{n})}{\bruch{1}{n}}
[/mm]
[mm] =n(1-cos(\bruch{1}{n}))
[/mm]
Der letzte schritt ist mir unklar. Also das [mm] \bruch{1-cos(\bruch{1}{n})}{\bruch{1}{n}}=n(1-cos(\bruch{1}{n}))
[/mm]
sehe ich ist ja eine einfache Umformung, aber warum nun alles so passt dass ausgerechnet die Ausgangsfunktion bei raus kommt? Wie mache ich das, das ganz geschickt das rauskommt? und wo ist der Zusammenhang zum Grenzwert für n gegen unendlich
Liebe Grüße Blubb
PS: Stört euch nicht am Epsilon ich wusste nicht wie man das Xi schreibt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Do 26.06.2014 | | Autor: | fred97 |
Zunächst zu :
$ [mm] \bruch{1-cos(\bruch{1}{n})}{\bruch{1}{n}}=n(1-cos(\bruch{1}{n})) [/mm] $
Das geht nach dem Motto: [mm] $\bruch{a}{\bruch{b}{c}}= \bruch{c}{b}*a$
[/mm]
Zu Deiner Aufgabe: den Mittelwertsatz braucht man nicht !
Warum f(x)=-cos(x) ? Darum:
mit f(x)=-cos(x) ist
[mm] a_n:= n(1-cos(\bruch{1}{n})) =n(f(\bruch{1}{n})-f(0))=\bruch{f(\bruch{1}{n})-f(0)}{\bruch{1}{n}}=\bruch{f(\bruch{1}{n})-f(0)}{\bruch{1}{n}-0}
[/mm]
Da f in [mm] x_0=0 [/mm] differenzierbar ist, gilt
[mm] $a_n \to [/mm] f'(0)=sin(0)=0$ für n [mm] \to \infty.
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Do 26.06.2014 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hier eine ähnliche Aufgabe, bei der man den Mittelwertsatz wirklich braucht ( jedenfalls ist mir im Moment keine andere Lösung eingefallen):
Sei a_n:=sin(\wurzel{n+1})-sin(\wurzel{n})
Fragen: ist (a_n) konvergent ? Wenn ja, welchen Grenzwert hat (a_n) ?
Meinen Studenten predige ich immer:
Woran denken wir, wenn wir die Differenz zweier Funktionswerte vor der Nase haben ?
Antwort: an den Mittelwertsatz !
Oft hilft das, manchmal auch nicht.
Bei obiger Folge (a_n) hilft das ganz doll:
Wir setzen $f(x):=sin(\wurzel{x)$ . Bitte frage jetzt nicht: warum $f(x):=sin(\wurzel{x)$ ?
Dann ist a_n=f(n+1)-f(n). Ahaa ! Wir denken an den Mittelwertsatz und der erzählt uns:
zu $ n \in \IN$ gibt es ein t_n im Intervall (n,n+1) derart, dass
\bruch{f(n+1)-f(n)}{(n+1)-n}=f'(t_n)
ist.
Somit haben wir:
a_n=\bruch{cos(\wurzel{t_n})}{2*\wurzel{t_n}}.
Es folgt:
|a_n| \le \bruch{1}{2*\wurzel{t_n}}
Ergo: wenn n \to \infty, so auch t_n \to \infty und folglich a_n \to 0.
FRED
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