Mittelwertsatz < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Sei f:[a,b] -> [mm] \IR [/mm] steig, differenziebar auf (a,b)
=> [mm] \exists x_0 \in [/mm] (a,b): [mm] f'(x_0) [/mm] = [mm] \frac{f(b) -f(a)}{b-a} [/mm] |
Fragen :
Warum muss es immer nur auf (a,b) differenzierbar sein und nicht im abgeschlossenen Intervall? Ich mein es ist doch auch auf [a,b] -> [mm] \IR [/mm] stetig.
Der Beweis (hab ich in meinen Skriptum) ist ja mittels einer Hilfsfunktion.
g(x) : = f(x) - x* [mm] \frac{f(b) - f(a)}{b-a}
[/mm]
Wie kann ich mir die Hilfsfunktion geometrisch vorstellen? Gibts im Internet ein schönes Bild dazu?
Ich weiß g(x) wird dann bei a und b ausgewertet und hat dort die selben Werte. g ist genauso stetig, was dann auf den Satz von Rolle zurückgeht.
Nur eben die Hilfsfunktion ist mir nicht klar, wieso sie so definiert ist!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei f:[a,b] -> [mm]\IR[/mm] steig, differenziebar auf (a,b)
> => [mm]\exists x_0 \in[/mm] (a,b): [mm]f'(x_0)[/mm] = [mm]\frac{f(b) -f(a)}{b-a}[/mm]
>
> Fragen :
> Warum muss es
Du meinst [mm] $f\,,$ [/mm] oder meinetwegen "die betrachtete Funktion..." Es ist immer schlecht, Dinge, die man konkret benennen kann, mit "es" zu bezeichnen!
> immer nur auf (a,b) differenzierbar sein und
> nicht im abgeschlossenen Intervall? Ich mein es ist doch
> auch auf [a,b] -> [mm]\IR[/mm] stetig.
>
> Der Beweis (hab ich in meinen Skriptum) ist ja mittels
> einer Hilfsfunktion.
> g(x) : = f(x) - x* [mm]\frac{f(b) - f(a)}{b-a}[/mm]
> Wie kann ich
> mir die Hilfsfunktion geometrisch vorstellen? Gibts im
> Internet ein schönes Bild dazu?
Letzteres kann ich Dir nicht sagen. Aber: Leite mal [mm] $g\,$ [/mm] nach [mm] $x\,$ [/mm] ab, und überlege Dir, "welchen Wert" [mm] $g'(x_0)$ [/mm] haben sollte, um dann damit die "Gleichung des Mittelwertsatzes" folgern zu können.
Was hat das denn mit den Schulmethoden, die Du kennst, zu tun? Beachte insbesondere, in welchem Bereich Du eigentlich diese Ableitung heranziehen solltest: In der Aussage steht ja [mm] $x_0 \in (a,b)\,,$ [/mm] und das ist natürlich eine stärkere Aussage, als wenn da "nur" [mm] $x_0 \in [/mm] [a,b]$ stünde ^^
Und zur Stetigkeit: Du kannst ja oben [mm] $g(a)=g(b)\,$ [/mm] nachrechnen. Die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] bzw. [mm] $g\,$ [/mm] auf $(a,b)$ brauchen wir schonmal, wenn wir [mm] $f\,$ [/mm] bzw. [mm] $g\,$ [/mm] dort differenzieren wollen.
Nun zu den Randpunkten:
Wäre [mm] $f\,$ [/mm] etwa unstetig in [mm] $a\,,$ [/mm] so ist auch [mm] $g\,$ [/mm] unstetig in [mm] $a\,.$ [/mm] Dann könnte es doch durchaus sein, dass, obwohl [mm] $g(a)=g(b)\,$ [/mm] gilt, [mm] $g\,$ [/mm] keine Extremstelle auf $(a,b]$ hat - einen Graph einer solchen Funktion [mm] $g\,$ [/mm] kannst Du sicher schnell hinmalen. Die Stetigkeitsforderung, dass [mm] $f\,$ [/mm] an [mm] $a\,$ [/mm] stetig sein soll, erzwingt auch, dass [mm] $g\,$ [/mm] an [mm] $a\,$ [/mm] stetig ist - analoges für die Stelle [mm] $b\,.$ [/mm] Würde man an [mm] $a\,$ [/mm] oder [mm] $b\,$ [/mm] auf die Stetigkeitsbedingung verzichten, so würde der Satz falsch werden, weil [mm] $g\,,$ [/mm] ich drücke es mal salopp aus, einen Graphen haben könnte, der auf [mm] $(a,b)\,$ [/mm] "machen könnte, was er wollte (okay, die Diff'barkeit, also sowas wie "Knickstellenfreiheit" und Stetigkeit wäre noch gegeben)". Man zwingt quasi [mm] $g\,$ [/mm] durch die Stetigkeitsforderung, und unter Beachtung von [mm] $g(a)=g(b)\,,$ [/mm] einen "gewissen Verlauf auf", bei dem man weiß, dass es dann Extremstellen zu sichten gibt - und zwar innerhalb von [mm] $(a,b)\,.$ [/mm]
Schau' Dir auch einfach mal den Satz von Rolle an, denn den wendet man ja auf [mm] $g\,$ [/mm] an. Nimm' mal ruhig ein Seil (lange genug muss es sein, also eine Länge haben die $> [mm] b-a\,$ [/mm] ist für $a < [mm] b\,.$), [/mm] markiere Dir mal die Punkte [mm] $(a,g(a))\,$ [/mm] und $(b,g(a))$ (es ist ja [mm] $g(a)=g(b)\,$) [/mm] und das Seil soll nun quasi den Graph von [mm] $g\,$ [/mm] auf dem Intervall [mm] $(a,b)\,$ [/mm] darstellen (dort ist [mm] $g\,$ [/mm] stetig und diff'bar, also der Graph sowas wie "Knickstellenfrei" und "unzerrissen"). Was bedeutet "die Fixierung der Endpunkte des Seils durch die 'Randpunkte'" für den Verlauf des Graphen an den Randstellen, und was kann man mit dem Seil machen, wenn man einen Endpunkt (der ja auch zum Graphen von [mm] $g\,$ [/mm] gehört) nicht als "Seilendpunkt" benutzt?
> Ich weiß g(x) wird dann bei a und b ausgewertet und hat
> dort die selben Werte. g ist genauso stetig, was dann auf
> den Satz von Rolle zurückgeht.
>
> Nur eben die Hilfsfunktion ist mir nicht klar, wieso sie so
> definiert ist!
Naja, weil sie's tut. Ich kann mir durchaus vorstellen, dass man sich (das kann man sich ja mit Sekantensteigungen etc, veranschaulichen) zuerst mal die Behauptung hingschrieben hatte:
[mm] $$f'(x_0)=(f(b)-f(a))/(b-a)\,.$$
[/mm]
Diese schreibt man um zu
[mm] $$0=f'(x_0)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,.$$
[/mm]
Wenn man nun so tut, als wenn man rechterhand dieses spezielle [mm] $x_0$ [/mm] als Variable [mm] $x\,$ [/mm] hat, steht doch dort
[mm] $$f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,.$$
[/mm]
Bilde eine Stammfunktion davon, etwa
[mm] $$f(x)-x*\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,.$$
[/mm]
Wenn wir diese nun [mm] $g\,$ [/mm] nennen, dann bekommen wir mit $g'$ die Extremstellen von [mm] $g\,.$ [/mm] Dort verschwindet die Ableitung, wenn wir begründen, dass [mm] $g'\,$ [/mm] auch Nullstellen hat - und das verschwinden der Ableitung liefert ja gerade die behauptete Gleichung des MWS.
Wir haben nun Glück, dass die so gefundene Stammfunktion (und auch jede weitere) quasi so nett ist, dass sie die Voraussetzungen des Satzes von Rolle auch erfüllt...
Aber ob jemand derartige Überlegungen für [mm] $g\,$ [/mm] oder in ähnlicher Weise verfolgt hat, weiß ich nicht. Ich hatte die Funktion [mm] $g\,$ [/mm] in meinem Studium jedenfalls einfach "hingenommen" und nur geguckt, ob sie alles erfüllt, was Rolle verlangt... nicht, dass wir da "aus der Rolle" fallen 
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Lu- |
Schonmals Danke ;)
> Aber: Leite mal $ [mm] g\, [/mm] $ nach $ [mm] x\, [/mm] $ ab, und überlege Dir, "welchen Wert" $ [mm] g'(x_0) [/mm] $ haben sollte, um dann damit die "Gleichung des Mittelwertsatzes" folgern zu können.
g'(x) = f'(x) - [mm] \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
[/mm]
g'(x) = Anstieg der Tangente - Anstieg der Sekante
g'(x) = f'(x) - [mm] f'(x_0)
[/mm]
Wie kommt man dann aber auf [mm] g'(x_0) [/mm] =0?
> Du kannst ja oben $ [mm] g(a)=g(b)\, [/mm] $ nachrechnen
g(a) = f(a) - (f(b)-f(a))* [mm] \frac{a}{b-a} [/mm] = [mm] \frac{a}{b-a} [/mm] * f(a) - [mm] \frac{a}{b - a} [/mm] * f(b)
g(b) = f(b) - [mm] \frac{a}{b-a} [/mm] * (f(b) - f(a)) = [mm] \frac{a}{b-a} [/mm] * f(a) - [mm] \frac{a}{b-a} [/mm] * f(b)
=> g(a)=g(b)
> Was bedeutet "die Fixierung der Endpunkte des Seils durch die 'Randpunkte'" für den Verlauf des Graphen an den Randstellen, und was kann man mit dem Seil machen, wenn man einen Endpunkt (der ja auch zum Graphen von $ [mm] g\, [/mm] $ gehört) nicht als "Seilendpunkt" benutzt?
Ich weiß nicht, die Fragen versteh ich nicht ganz ;(
> Naja, weil sie's tut. Ich kann mir durchaus vorstellen, dass man sich (das kann man sich ja mit Sekantensteigungen etc, veranschaulichen) zuerst mal die Behauptung hingschrieben hatte:
$ [mm] f'(x_0)=(f(b)-f(a))/(b-a)\,. [/mm] $
> Diese schreibt man um zu
$ [mm] 0=f'(x_0)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,. [/mm] $
> Wenn man nun so tut, als wenn man rechterhand dieses speziele $ [mm] x_0 [/mm] $ als Variable $ [mm] x\, [/mm] $ hat, steht doch dort
$ [mm] f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,. [/mm] $
> Bilde eine Stammfunktion davon, etwa
$ [mm] f(x)-x\cdot{}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,. [/mm] $
> Wenn wir diese nun $ [mm] g\, [/mm] $ nennen, dann bekommen wir mit $ g' $ die Extremstellen von $ [mm] g\,. [/mm] $ Dort verschwindet die Ableitung, wenn wir begründen, dass $ [mm] g'\, [/mm] $ auch Nullstellen hat - und das verschwinden der Ableitung liefert ja gerade die behauptete Gleichung des MWS.
> Wir haben nun Glück, dass die so gefundene Stammfunktion (und auch jede weitere) quasi so nett ist, dass sie den Satz von Rolle auch erfüllt...
Danke, dass hat mir die Augen geöffnet ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 Do 12.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Schonmals Danke ;)
>
> > Aber: Leite mal [mm]g\,[/mm] nach [mm]x\,[/mm] ab, und überlege Dir,
> "welchen Wert" [mm]g'(x_0)[/mm] haben sollte, um dann damit die
> "Gleichung des Mittelwertsatzes" folgern zu können.
> g'(x) = f'(x) - [mm]\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/mm]
> g'(x) = Anstieg der Tangente - Anstieg der Sekante
> g'(x) = f'(x) - [mm]f'(x_0)[/mm]
> Wie kommt man dann aber auf [mm]g'(x_0)[/mm] =0?
kapiere ich nicht, was Du da gemacht hast. Du sollst nicht an [mm] $g\,$ [/mm] Dir den Mittelwertsatz klarmachen - das mit der Sekante etc. bezog sich auf [mm] $f\,.$ [/mm] Bilder dazu findet man normalerweise in einem einigermaßen vernünftigen Buch der Oberstufe.
Du solltest bei [mm] $g\,$ [/mm] folgendes machen:
1.) Ableiten:
[mm] $$(I)\;\;\;g'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,.$$
[/mm]
2.) Wie finde ich nun Extremstellen von [mm] $g\,$ [/mm] auf [mm] $(a,b)\,$ [/mm] mithilfe von $g'$? Nenne solche Stellen auch mal [mm] $x_0\,,$ [/mm] dann muss doch gelten [mm] $g'(x_0)=0\,.$ [/mm] Und setze nun [mm] $g'(x_0)$ [/mm] gemäß (I) ein!
> > Du kannst ja oben [mm]g(a)=g(b)\,[/mm] nachrechnen
> g(a) = f(a) - (f(b)-f(a))* [mm]\frac{a}{b-a}[/mm] = [mm]\frac{a}{b-a}[/mm]
> * f(a) - [mm]\frac{a}{b - a}[/mm] * f(b)
> g(b) = f(b) - [mm]\frac{a}{b-a}[/mm] * (f(b) - f(a)) =
> [mm]\frac{a}{b-a}[/mm] * f(a) - [mm]\frac{a}{b-a}[/mm] * f(b)
> => g(a)=g(b)
>
> > Was bedeutet "die Fixierung der Endpunkte des Seils durch
> die 'Randpunkte'" für den Verlauf des Graphen an den
> Randstellen, und was kann man mit dem Seil machen, wenn man
> einen Endpunkt (der ja auch zum Graphen von [mm]g\,[/mm] gehört)
> nicht als "Seilendpunkt" benutzt?
> Ich weiß nicht, die Fragen versteh ich nicht ganz ;(
Als "Randpunkte" verstehe ich die Punkte [mm] $(a,g(a))\,$ [/mm] und [mm] $(b,g(a))\,$ [/mm] des [mm] $\IR^2$ [/mm] (eigentlich ist der rechte erstmal [mm] $(b,g(b))\,,$ [/mm] aber es gilt ja [mm] $g(a)=g(b)\,.$) [/mm]
Das Seil mit den Enden jeweils dort "fixieren" ist sowas wie "stetiger Verlauf des Graphen von [mm] $g\,$ [/mm] an den beiden Randstellen". Wenn ich nun [mm] $g\,$ [/mm] in [mm] $b\,$ [/mm] stetig reinlaufen lasse, dann "fixiere" ich den Graph, das Seil, am Punkt [mm] $(b,g(b))\,.$ [/mm]
Lasse ich das Seil auch "stetig in $(a,g(a))$ reinlaufen", dann kann ich Stellen am Seil sehen, wo die Ableitung verschwindet.
Und wenn wir aber das Seil nur an [mm] $(b,g(a))\,$ [/mm] "fixieren", und nun der linke Endpunkt des Seils nicht "in den Punkt [mm] $(a,g(a))\,$" [/mm] reinlaufen lassen? Kann man dann sowas auch erwarten?
Ich mach's mal spezieller: Stelle Dir vor, zwischen [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$ [/mm] ist der Graph von [mm] $g\,$ [/mm] eine nach oben geöffnete Parabel. Der Graph ist mein Seil, die Endpunkte sind wegen [mm] $g(a)=g(b)\,$ [/mm] auf gleicher "Höhe". Da gibt's eine Extremstelle, die sieht man am Graphen. Nun "zerschneide ich ganz nahe an [mm] $a\,$" [/mm] das Seil und lege es irgendwie um, so, dass ich damit immer noch eine Funktion auf $[a,b]$ beschreibe - nur der linke Seilendpunkt liegt wild in der Gegend rum. Ich kann dann das Seil so hinlegen, dass es keine keine Stellen mehr hat, wo die Ableitung verschwindet. Das ganze ist schwer mit Worten zu beschreiben: Schade, dass ich Dir das nicht direkt zeigen kann. Vielleicht versteht jemand,was ich meine und kann's besser erklären ^^
>
> > Naja, weil sie's tut. Ich kann mir durchaus vorstellen,
> dass man sich (das kann man sich ja mit Sekantensteigungen
> etc, veranschaulichen) zuerst mal die Behauptung
> hingschrieben hatte:
>
> [mm]f'(x_0)=(f(b)-f(a))/(b-a)\,.[/mm]
>
>
>
> > Diese schreibt man um zu
>
> [mm]0=f'(x_0)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,.[/mm]
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>
> > Wenn man nun so tut, als wenn man rechterhand dieses
> speziele [mm]x_0[/mm] als Variable [mm]x\,[/mm] hat, steht doch dort
>
> [mm]f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,.[/mm]
>
>
> > Bilde eine Stammfunktion davon, etwa
>
> [mm]f(x)-x\cdot{}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,.[/mm]
>
> > Wenn wir diese nun [mm]g\,[/mm] nennen, dann bekommen wir mit [mm]g'[/mm] die
> Extremstellen von [mm]g\,.[/mm] Dort verschwindet die Ableitung,
> wenn wir begründen, dass [mm]g'\,[/mm] auch Nullstellen hat - und
> das verschwinden der Ableitung liefert ja gerade die
> behauptete Gleichung des MWS.
>
> > Wir haben nun Glück, dass die so gefundene Stammfunktion
> (und auch jede weitere) quasi so nett ist, dass sie den
> Satz von Rolle auch erfüllt...
>
> Danke, dass hat mir die Augen geöffnet ;)
Gerne 
Gruß,
Marcel
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